§ 4. НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБ ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ

4.1. Классические системы. Как известно (см. разд. 2.2), свободная энергия и другие термодинамические характеристики решетчатой системы с парным потенциалом взаимодействия существуют при условии, что

Доказанная в книге (см. п. 5.6.2) теорема об отсутствии фазовых переходов в решетчатых системах с финитными взаимодействиями обобщена одновременно и независимо Добрушиным [4], [5] и Рюэлем [10] на класс бесконечно протяженных потенциалов удовлетворяющих условию теоремы 5.6.5, которое для случая парного потенциала принимает вид

Точнее, в обеих работах было доказано существование предела гиббсовских состояний в конечном отрезке при для всех значений непрерывная зависимость этого предела от параметров, а также установлен ряд хороших эргодических. свойств этого предельного состояния (например, свойство (П. 1.7), см. § 1 этого приложения). Добрушин показал также, что при выполнении условия (П.4.2) построенное состояние является единственным предельным гиббсовским состоянием (см. приложение § 1).

Доказательство Добрушина обобщает обычное доказательство эргодической теоремы для цепей Маркова. Доказательство Рюэля основано на использовании бес конечномерных операторов, сохраняющих конус положительных функций, и обобщением на этот случай

теоремы Перрона (по своему духу это близко к технике марковских цепей). А именно, в работе Рюэля [10] показывается, что построенный им оператор (аналог матрицы общеупотребительное название—трансфер-матрица) имеет единственный собственный вектор с положительным однократным собственным значением При этом последовательность операторов стягивает при все пространство к одномерному подпространству Интересным и весьма важным является открытый до сих пор вопрос о структуре спектра оператора в окрестности По-видимому, экспоненциальное убывание при означает, что изолированная точка спектра; при более же медленном убывании не исключено, что картина может усложниться. С этим же связан и остающийся открытым вопрос об аналитической зависимости предельного состояния от параметров

Одномерным моделям с медленно убывающим потенциалом (удовлетворяющим условию но не условию посвящены недавние работы Дайсона [3], [4]. В работе [3] рассматривается потенциал удовлетворяющий кроме еще следующим условиям:

Для такого класса потенциалов [куда относятся, в частности, потенциалы, убывающие как спиновая система обнаруживает своего рода фазовый переход, который проявляется в том, что корреляции значений спинов в далеко отстоящих друг от друга точках решетки х и у не стремятся к нулю при Сформулируем этот результат более точно. Рассмотрим большой канонический ансамбль для спиновой системы с парным потенциалом в отсутствие внешнего магнитного поля (см. когда состояние Гиббса инвариантно относительно одновременного изменения знаков у всех спинов. Очевидно, что при этом

вероятности при всех . Если мы рассмотрим условные вероятности то оказывается, что при выполнении условий (П.4.1) и (П.4.3) относительно потенциала существует предел

Результат Дайсона может быть теперь сформулирован следующим образом.

4.2. Теорема. При сформулированных выше предположениях существуют такие значения

Доказательство этой теоремы очень тонкое и, в частности, опирается на неравенства Гриффитса (см. разд. 5.4). Вопрос о характере фазового перехода (скажем, будет ли он переходом 1-го рода?), а также о структуре множества предельных состояний в работе Дайсона не исследован. Отметим, однако, что утверждение 2) в точности эквивалентно наличию «дальнего порядка» в системе (см. разд. 5.4.9), который наблюдается -мерной и -мерной моделей Изинга в точке фазового перехода. Естественно и здесь выдвинуть гипотезу, что при мы имеем дело с фазовым переходом 1-го рода, а совокупность предельных состояний устроена так же, как и для плоской модели Изинга в области фазового перехода.

В следующей работе [4] Дайсон показал, что для положительных потенциалов удовлетворяющих условию

дальний порядок отсутствует при всех т. е.

В этом случае предельное состояние единственно (Мин-лос, неопубликованный результат).

Для случая непрерывных классических одномерных систем приведенная в книге теорема Ван Хова (см. п. 5.6.7) об отсутствии фазовых переходов для систем частиц с твердой сердцевиной и с финитным взаимодействием была обобщена Добрушиным [7], [8] и независимо Галлавотти и Миракль-Солем [5], на случай бесконечно протяженных парных потенциалов (по-прежнему с твердой сердцевиной), удовлетворяющих условию где — монотонно неубывающая функция, такая, что

В случае же финитных потенциалов, достаточно быстро растущих в нуле, отсутствие фазовых переходов доказано в работе Сухова [2] с помощью интересной модификации метода трансфер-матрицы применительно к непрерывному случаю.

4.3. Квантовые системы. Идея сведения гиббсовских распределений к изучению трансфер-матрицы (или, в эквивалентной формулировке, к некоторой цепи Маркова) оказалась весьма плодотворной и для одномерных квантовых систем. Здесь прежде всего следует назвать недавнюю работу-Араки [1], в которой им были изучены одномерные спиновые системы с финитным взаимодействием самого общего вида. Для таких систем он установил существование предельного состояния Гиббса, обладающего рядом свойств регулярности и аналитичности. В частности, Араки установил аналитическую зависимость свободной энергии Гиббса от термодинамических переменных.

Метод Араки представляет собой сложную модификацию метода, примененного в работе Рюэля [10] (см. выше), а именно, им строится аналог трансфер-матрицы линейного преобразования в некоторой бесконечномерной подалгебре алгебры квазилокальных

операторов (см. п. 7.1.3) и затем устанавливается существование собственного вектора этого преобразования с положительным однократным собственным значением Отметим, что в отличие от классического случая этот оператор даже для финитного взаимодействия является бесконечномерным, но с экспоненциальным убыванием зависимости от «далеких» переменных. Все предельные характеристики системы (свободная энергия, предельное гиббсовское состояние) довольно просто выражаются уже через К сожалению, до сих пор результаты Араки не перенесены на случай бесконечно протяженных быстро убывающих потенциалов. Здесь уместно привести одно общее замечание, принадлежащее Синаю. Подобно тому как одномерные классические системы могут быть хорошо описаны в терминах марковских цепей, рассмотрение квантовых систем приводит к новому понятию «некоммутативных марковских цепей» — некоторого специального класса состояний на алгебре квазилокальных наблюдаемых для одномерной системы, который по своим свойствам служит естественным аналогом обычных марковских цепей. При этом многие результаты и приемы обычных марковских цепей переносятся на некоммутативный случай.

Задача построения предельного состояния Гиббса для одномерных непрерывных квантовых систем решена в недавних работах Сухова [4], [5] для финитных парных потенциалов с твердой сердцевиной. Здесь применяется новая модификация метода трансфер-матрицы, использующая представление различного рода характеристик гиббсовского ансамбля (матрицы плотности, корреляционных функций и т. в виде винеровских интегралов (см. разд. 4.6).