§ 6. КИНЕТИКА БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ

В книге Рюэля и во всех работах, из которых она возникла, главное внимание было обращено исключительно на равновесную теорию, причина этому просто в том, что равновесная теория проще неравновесной. Однако в последнее время делаются некоторые попытки трактовать также и кинетику, исходя из той общей концепции, которая пронизывает книгу Рюэля [изучать все вопросы, связанные с термодинамическими системами (насколько это возможно) на основе явного введения предельных (бесконечномерных) объектов, возникающих в результате термодинамического предельного перехода].

При таком подходе для изучения кинетики естественно ввести сразу бесконечную динамическую систему, фазовое пространство которой состоит из бесконечных последовательностей пар (p — импульс, — положение частицы), а движение задается бесконечной системой уравнений

Здесь — сила парного взаимодействия между частицами, — масса частицы.

Первый и уже достаточно сложный возникающий здесь вопрос — это вопрос о существовании решения системы (П.6.1). Для произвольной силы и произвольных начальных условий теорема о существовании решений даже неверна. В работе Ланфорда [1, I] доказана теорема о существовании решения системы (П.6.1)

для всех в одномерном случае при следующих условиях:

1) функция финитна при и удовлетворяет условию Липшица:

2) начальные данные удовлетворяют следующим ограничениям: существуют такие константы что

б) если обозначить через число точек попавших в интервал то для интервалов, удовлетворяющих условию

выполняется неравенство:

Обозначим множество последовательностей удовлетворяющих этим условиям, через Результат Ланфорда содержит также утверждение, что решение системы (П.6.1) с начальными условиями из в любой момент снова принадлежит к.

Заметим сразу, что предположение об ограниченности с точки зрения реальных систем малоинтересно, поскольку все известные реальные потенциалы содержат бесконечную особенность при (отталкивание на малых расстояниях). В случае частиц с твердой сердцевиной (упруго отражающихся друг от друга) теорема о существовании решений доказывается просто. Для потенциалов без твердой сердцевины, но неограниченно растущих в нуле, никакие результаты о существовании решения при всех для какого-нибудь разумного класса начальных условий еще не получены.

Если установлена теорема о существовании решения уравнений движения и на множестве х, то тем самым вводится динамическая система Т, возникают вопросы о характере этой системы, об ее инвариантных мерах (в частности, вопрос об инвариантности предельных гиббсовских состояний) и т. д.

От динамической системы Т на множестве к конфигураций различимых частиц с помощью естественной факторизации мы переходим к динамической системе Т на множестве конфигураций неразличимых частиц. В следующей своей работе [1, II] Ланфорд показал, что для предельного состояния Гиббса, получаемого из большого канонического ансамбля при малых значениях активности, соответствующая мера сосредоточена на и инвариантна относительно преобразований V. Наконец, в работе Галлавотти, Ланфорда и Лебовица [1] исследован вопрос о сходимости при состояний к предельным гиббсовским состояниям для определенного класса начальных состояний

В заключение следует упомянуть недавний результат Волковысского и Синая [1], где показано, что в случае отсутствия взаимодействия (идеальный газ) динамическая система которой инвариантная мера совпадает с предельным гиббсовским распределением, является -системой.