§ 6.3. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ

В этом параграфе мы займемся детальным изучением инвариантных состояний на -абелевой -алгебре. Сначала мы рассмотрим эргодические состояния.

6.3.1. Определение). Пусть задана тройка Обозначим через совокупность крайних точек множества всех -инвариантных состояний, элементы множества назовем -эргодическими состояниями.

В абелевой ситуации (см. 6.2.3) эргодические состояния сводятся к эргодическим мерам. Мы предпошлем описанию эргодических состояний (см. теорему 6.3.3, ниже) некоторые технические результаты, при доказательстве которых нам понадобятся алгебры фон Неймана (см. Д.4). В следующем предложении не предполагается, что алгебра является -абелевой.

6.3.2. Предложение. Пусть тогда

(б) отображение

является -изоморфизмом,

(г) если алгебра фон Неймана абелева, то

совпадает с сильным замыканием алгебры

(а) Включение очевидно, поскольку Допустим противное: тогда для всех и всех имеем

(б) Если то поэтому отображение а является - гомоморфизмом. Если то а поэтому Следовательно, и отображение а — изоморфизм.

(в) Это утверждение вытекает из формулы (см. Д.3.4), если взять

Вектор является циклическим вектором для ограничения алгебры фон Неймана на подпространство поэтому если эта алгебра коммутативна, то она совпадает со своим коммутантом (см. Д.4.5), который является ограничением алгебры на подпространство .

(д) Алгебра всегда совпадает с алгеброй , порожденной в свою очередь алгебра всюду плотна в в сильной топологии, поскольку

6.3.3. Теорема. Пусть Условия

(б) множество операторов неприводимо в

(в) подпространство одномерно

связаны соотношениями Если В-алгебра G-абелева, то условия (б) и (в) эквивалентны.

Существование самосопряженного оператора такого, что и не кратного 1, эквивалентно (см. Д.3.5) как отрицанию так и отрицанию

Эта импликация вытекает из

Если алгебра G-абелева, то согласно 6.3. (в) и (г). Поэтому условие (б) означает, что в данном случае всякий оператор из алгебры пропорционален но так как вектор циклический для ограничения алгебры на подпространство то условие (в) выполнено.

6.3.4. Замечание. Из 6.3.2 следует, что условие (б) теоремы 6.3.3 эквивалентно следующим:

6.3.5. Предложение. Пусть на группе существует инвариантная мера и функции непрерывны на (при всех и всех ); пусть — некоторая М-сеть на группе Если состояние то следующие условия эквивалентны условию (в) теоремы 6.3.3;

(г) для всех выполняется равенство

(д) для всех самосопряженных элементов выполняется равенство

Используя предложение 6.2.14, можно переписать равенства (3.5) и (3.6) в виде

и

соответственно; оба эти равенства означают, что является оператором ортогонального проектирования на

6.3.6. Замечание. Равенство (3.5) выполняется, в частности, если группа некомпактна и

Соотношение (3.7) совпадает с равенством (4.11) гл. 4, т. е. выражает групповое свойство. Равенство (3.5) естественно называть слабым групповым свойством.