§ 4.4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД

В этом параграфе мы разовьем другой подход к изучению корреляционных функций. Этот подход имеет много параллелей с рассмотрениями но более удобен в определенном классе задач. Идея его состоит

в непосредственном изучении коэффициентов разложения корреляционных функций по степеням активности

4.4.1. Определения. Обозначим через комплексное векторное пространство последовательностей

таких, что при каждом комплексная функция определена на пространстве ограничена и измерима по Лебегу. Заметим, что нулевая компонента последовательности представляет собой комплексное число. Нам будет удобно обозначать конечную последовательность векторов из одной буквой: и писать

Пусть теперь Положим

где суммирование проводится по всем подпоследовательностям последовательности X, а обозначает подпоследовательность, получающуюся вычеркиванием из X элементов, входящих в У. Так, например,

Равенство (4.3) определяет умножение в пространстве

Очевидно, что при таком определении умножения превращается в коммутативную алгебру с единичным элементом 1 (1 определяется равенствами

Обозначим через подпространство в образованное элементами которых

Разложение экспоненты в степенной ряд позволяет определить однозначное отображение Г идеала

Отображение Г обладает обратным (которое соответствует логарифму)

Мы видим, что является суммой произведений вида

соответствующих всевозможным разбиениям последовательности на подмножества Если то несколько первых компонент в равенстве (4.5) имеют вид

4.4.2. Функции Больцмана и функции Урселла. Рассмотрим следующую последовательность

где функция задается равенством (2.2).

Определим последовательность равенствами

Суммирование в (4.9) производится по всем связным графам у с вершинами а произведение берется по всем парам таким, что точки и являются вершинами одного из ребер графа у.

Рис. 12. Связный граф.

Функции и известны под названиями функций Больцмана и функций Урселла соответственно.

Если записать определение (4.8) в виде

разложить произведение, стоящее в правой части, и воспользоваться формулой (4.7), то получим, что

Связь между функциями Урселла и Больцмана, выражаемая формулой (4.10), позволит нам при изучении функций Урселла использовать алгебраические свойства экспоненциального отображения и не рассматривать различные графы, как это делают обычно.

4.4.3. Групповое свойство. Пусть и функции непрерывны и инвариантны относительно сдвигов

Далее, пусть подпоследовательность Может случиться, что когда минимальное расстояние между точками стремится к бесконечности, то

Если это верно для всех и всех последовательностей то говорят, что функции обладают групповым свойством. Это название объясняется тем, что если аргументы функции разбиты на две далекие «группы» то функция разлагается в произведение Так, например, если Ф — непрерывный потенциал парного взаимодействия, стремящийся к нулю на бесконечности, то функции Больцмана обладают групповым свойством.

Пусть функции обладают групповым свойством тогда и только тогда, когда рассматриваемые как функции разностей стремятся К нулю на бесконечности.

Этот результат легко вытекает из формулы (4.7) и показывает, почему удобно рассматривать отображение Г. Конечно, групповое свойство можно определять и по-другому, если вместо непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности, мы будем рассматривать суммируемые потенциалы или налагать на потенциал какие-нибудь другие условия убывания на бесконечности.

4.4.4. Дальнейшие определения. Пусть обозначает интегрируемую по Лебегу функцию, определенную на Для каждой последовательности определим формальный степенной ряд

Легко убедиться, что если то соответствующие им степенные ряды удовлетворяют соотношению

Пусть теперь Используя равенство (4.13) и тот факт, что отображение Г экспоненциально, получим формулу

Зададим теперь отображение равенством

И вообще для всякого набора положим

Ясно, что отображения линейны, кроме того, удовлетворяет тождеству

т. е. является дифференцированием алгебры Из правила дифференцирования экспоненты вытекает следующая важная формула:

4.4.5. Выражения для статистической суммы и корреляционных функций. Рассмотрим теперь случай, когда последовательность задается равенствами (4.8), т. е. является последовательностью функций Больцмана. Обозначим через характеристическую функцию измеримого множества Определение большой статистической суммы можно переписать в виде

Поскольку по предположению потенциал Ф устойчив, то ряд (4.19) представляет собой целую функцию.

А так как то логарифм аналитичен в некоторой окрестности начала координат и задается рядом

где — последовательность функций Урселла. Здесь мы воспользовались равенствами (4.10) и (4.14).

Если значения (комплексной) активности выбираются из достаточно малой окрестности нуля (на комплексной плоскости), то можно определить последовательность

Действительно, так как большая статистическая сумма не обращается в нуль при вещественных положительных значениях то выражение (4.21) имеет смысл по крайней мере для всех физических значений Сравнивая его с (2.5), мы получим

Пусть Определим последовательность равенством

Заметим, что если то из равенств (4.18) и следует, что

Следующее соотношение между степенными рядами дает разложение функции по степеням активности

4.4.6. Сходимость разложений по степеням активности. Если воспользоваться равенствами (4.22) и подставить разложение (4.25) в уравнения Кирквуда — Зальцбурга, то мы получим (бесконечное) множество соотношений между функциями Сейчас мы покажем способ непосредственного получения этих соотношений и оценок, к которым они приводят.

Пусть, как всегда, Тогда

Поэтому (4.23) можно переписать в виде

Используя определения (2.6), (2.9) и (4.3), получим, что

Положим Тогда

Отсюда, наконец, вытекает следующее рекуррентное соотношение:

Из равенства (4.26) для индукцией по легко получить следующую оценку 2):

Эта оценка того же типа, что и аналогичные оценки п. 4.2; из нее следует (возьмем ), что ряд (4.25) сходится в круге

Оценку (4.27) можно несколько улучшить. Так, например, если то и поэтому ввиду равенства (4.24)

При более аккуратном подсчете вместо оценок (4.27) и (4.29) из соотношений (4.26) получаются следующие неравенства):

4.4.7. Групповое свойство корреляционных функций. Теорема 4.2.3 утверждает, что функции стремятся к пределу при Поэтому и последовательности стремятся к [см. (4.22)]. Чтобы получить коэффициенты разложения по степеням активности нужно в равенстве (4.25) устремить

При этом получается, что

и ряд в правой части снова сходится в круге (4.28). Очевидно, что

В частности, при мы получаем

В последовательности в которой по определению является элементом положим

В таком случае из (4.33) следует, что

Функции называются групповыми функциями семейства корреляционных функций. В соответствии с корреляционные функции обладают групповым свойством, если групповые функции как функции разностей стремятся к нулю на бесконечности. Мы покажем, что подобное утверждение верно, при этом требование «убывания на бесконечности» мы заменим на абсолютную интегрируемость.

4.4.8. Теорема. Предположим, что взаимодействие задается устойчивым регулярным парным потенциалом Ф. Тогда групповые функции семейства корреляционных функций (определяемые равенством как функции разностей абсолютно интегрируемы при и при этом

Прежде чем доказывать оценку (4.37), выразим групповые функции через функции Урселла . Из формулы (4.18), пользуясь определением (4.16) оператора получим

где суммирование проводится по всем разбиениям последовательности на подпоследовательности Подставляя выражение (4.38) в определение (4.23) функций найдем, что

Подставим это выражение в равенство (4.32) и получим

Сравнивая последнее выражение с (4.35), найдем, что

Из оценки (4.29) при следует, что

Из соотношений (4.39) и (4.40) вытекает интегрируемость функций

где мы воспользовались формулой

И наконец, оценка (4.37) вытекает из равенства (4.36) и оценки (4.41).