Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4.4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОДВ этом параграфе мы разовьем другой подход к изучению корреляционных функций. Этот подход имеет много параллелей с рассмотрениями в непосредственном изучении коэффициентов разложения корреляционных функций по степеням активности 4.4.1. Определения. Обозначим через
таких, что при каждом
Пусть теперь
где суммирование проводится по всем подпоследовательностям
Равенство (4.3) определяет умножение в пространстве
Очевидно, что при таком определении умножения Обозначим через подпространство в Разложение экспоненты в степенной ряд позволяет определить однозначное отображение Г идеала
Отображение Г обладает обратным
Мы видим, что
соответствующих всевозможным разбиениям последовательности
4.4.2. Функции Больцмана и функции Урселла. Рассмотрим следующую последовательность
где функция Определим последовательность
Суммирование в (4.9) производится по всем связным графам у с вершинами
Рис. 12. Связный граф. Функции и Если записать определение (4.8) в виде
разложить произведение, стоящее в правой части, и воспользоваться формулой (4.7), то получим, что
Связь между функциями Урселла и Больцмана, выражаемая формулой (4.10), позволит нам при изучении функций Урселла использовать алгебраические свойства экспоненциального отображения и не рассматривать различные графы, как это делают обычно. 4.4.3. Групповое свойство. Пусть
Далее, пусть
Если это верно для всех Пусть Этот результат легко вытекает из формулы (4.7) и показывает, почему удобно рассматривать отображение Г. Конечно, групповое свойство можно определять и по-другому, если вместо непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности, мы будем рассматривать суммируемые потенциалы или налагать на потенциал какие-нибудь другие условия убывания на бесконечности. 4.4.4. Дальнейшие определения. Пусть
Легко убедиться, что если
Пусть теперь
Зададим теперь отображение
И вообще для всякого набора
Ясно, что отображения
т. е. является дифференцированием алгебры Из правила дифференцирования экспоненты вытекает следующая важная формула:
4.4.5. Выражения для статистической суммы и корреляционных функций. Рассмотрим теперь случай, когда последовательность
Поскольку по предположению потенциал Ф устойчив, то ряд (4.19) представляет собой целую функцию. А так как
где Если значения (комплексной) активности
Действительно, так как большая статистическая сумма
Пусть
Заметим, что если
Следующее соотношение между степенными рядами дает разложение функции
4.4.6. Сходимость разложений по степеням активности. Если воспользоваться равенствами (4.22) и подставить разложение (4.25) в уравнения Кирквуда — Зальцбурга, то мы получим (бесконечное) множество соотношений между функциями Пусть, как всегда,
Используя определения (2.6), (2.9) и (4.3), получим, что
Положим
Отсюда, наконец, вытекает следующее рекуррентное соотношение:
Из равенства (4.26) для
Эта оценка того же типа, что и аналогичные оценки п. 4.2; из нее следует (возьмем
Оценку (4.27) можно несколько улучшить. Так, например, если
При более аккуратном подсчете вместо оценок (4.27) и (4.29) из соотношений (4.26) получаются следующие неравенства):
4.4.7. Групповое свойство корреляционных функций. Теорема 4.2.3 утверждает, что функции При этом получается, что
и ряд в правой части снова сходится в круге (4.28). Очевидно, что
В частности, при
В последовательности
В таком случае из (4.33) следует, что
Функции 4.4.8. Теорема. Предположим, что взаимодействие задается устойчивым регулярным парным потенциалом Ф. Тогда групповые функции
Прежде чем доказывать оценку (4.37), выразим групповые функции
где суммирование проводится по всем разбиениям последовательности
Подставим это выражение в равенство (4.32) и получим
Сравнивая последнее выражение с (4.35), найдем, что
Из оценки (4.29) при
Из соотношений (4.39) и (4.40) вытекает интегрируемость функций
где мы воспользовались формулой
И наконец, оценка (4.37) вытекает из равенства (4.36) и оценки (4.41).
|
1 |
Оглавление
|