Главная > Статистическая механика. Строгие результаты
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4.4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД

В этом параграфе мы разовьем другой подход к изучению корреляционных функций. Этот подход имеет много параллелей с рассмотрениями но более удобен в определенном классе задач. Идея его состоит

в непосредственном изучении коэффициентов разложения корреляционных функций по степеням активности

4.4.1. Определения. Обозначим через комплексное векторное пространство последовательностей

таких, что при каждом комплексная функция определена на пространстве ограничена и измерима по Лебегу. Заметим, что нулевая компонента последовательности представляет собой комплексное число. Нам будет удобно обозначать конечную последовательность векторов из одной буквой: и писать

Пусть теперь Положим

где суммирование проводится по всем подпоследовательностям последовательности X, а обозначает подпоследовательность, получающуюся вычеркиванием из X элементов, входящих в У. Так, например,

Равенство (4.3) определяет умножение в пространстве

Очевидно, что при таком определении умножения превращается в коммутативную алгебру с единичным элементом 1 (1 определяется равенствами

Обозначим через подпространство в образованное элементами которых

Разложение экспоненты в степенной ряд позволяет определить однозначное отображение Г идеала

Отображение Г обладает обратным (которое соответствует логарифму)

Мы видим, что является суммой произведений вида

соответствующих всевозможным разбиениям последовательности на подмножества Если то несколько первых компонент в равенстве (4.5) имеют вид

4.4.2. Функции Больцмана и функции Урселла. Рассмотрим следующую последовательность

где функция задается равенством (2.2).

Определим последовательность равенствами

Суммирование в (4.9) производится по всем связным графам у с вершинами а произведение берется по всем парам таким, что точки и являются вершинами одного из ребер графа у.

Рис. 12. Связный граф.

Функции и известны под названиями функций Больцмана и функций Урселла соответственно.

Если записать определение (4.8) в виде

разложить произведение, стоящее в правой части, и воспользоваться формулой (4.7), то получим, что

Связь между функциями Урселла и Больцмана, выражаемая формулой (4.10), позволит нам при изучении функций Урселла использовать алгебраические свойства экспоненциального отображения и не рассматривать различные графы, как это делают обычно.

4.4.3. Групповое свойство. Пусть и функции непрерывны и инвариантны относительно сдвигов

Далее, пусть подпоследовательность Может случиться, что когда минимальное расстояние между точками стремится к бесконечности, то

Если это верно для всех и всех последовательностей то говорят, что функции обладают групповым свойством. Это название объясняется тем, что если аргументы функции разбиты на две далекие «группы» то функция разлагается в произведение Так, например, если Ф — непрерывный потенциал парного взаимодействия, стремящийся к нулю на бесконечности, то функции Больцмана обладают групповым свойством.

Пусть функции обладают групповым свойством тогда и только тогда, когда рассматриваемые как функции разностей стремятся К нулю на бесконечности.

Этот результат легко вытекает из формулы (4.7) и показывает, почему удобно рассматривать отображение Г. Конечно, групповое свойство можно определять и по-другому, если вместо непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности, мы будем рассматривать суммируемые потенциалы или налагать на потенциал какие-нибудь другие условия убывания на бесконечности.

4.4.4. Дальнейшие определения. Пусть обозначает интегрируемую по Лебегу функцию, определенную на Для каждой последовательности определим формальный степенной ряд

Легко убедиться, что если то соответствующие им степенные ряды удовлетворяют соотношению

Пусть теперь Используя равенство (4.13) и тот факт, что отображение Г экспоненциально, получим формулу

Зададим теперь отображение равенством

И вообще для всякого набора положим

Ясно, что отображения линейны, кроме того, удовлетворяет тождеству

т. е. является дифференцированием алгебры Из правила дифференцирования экспоненты вытекает следующая важная формула:

4.4.5. Выражения для статистической суммы и корреляционных функций. Рассмотрим теперь случай, когда последовательность задается равенствами (4.8), т. е. является последовательностью функций Больцмана. Обозначим через характеристическую функцию измеримого множества Определение большой статистической суммы можно переписать в виде

Поскольку по предположению потенциал Ф устойчив, то ряд (4.19) представляет собой целую функцию.

А так как то логарифм аналитичен в некоторой окрестности начала координат и задается рядом

где последовательность функций Урселла. Здесь мы воспользовались равенствами (4.10) и (4.14).

Если значения (комплексной) активности выбираются из достаточно малой окрестности нуля (на комплексной плоскости), то можно определить последовательность

Действительно, так как большая статистическая сумма не обращается в нуль при вещественных положительных значениях то выражение (4.21) имеет смысл по крайней мере для всех физических значений Сравнивая его с (2.5), мы получим

Пусть Определим последовательность равенством

Заметим, что если то из равенств (4.18) и следует, что

Следующее соотношение между степенными рядами дает разложение функции по степеням активности

4.4.6. Сходимость разложений по степеням активности. Если воспользоваться равенствами (4.22) и подставить разложение (4.25) в уравнения Кирквуда — Зальцбурга, то мы получим (бесконечное) множество соотношений между функциями Сейчас мы покажем способ непосредственного получения этих соотношений и оценок, к которым они приводят.

Пусть, как всегда, Тогда

Поэтому (4.23) можно переписать в виде

Используя определения (2.6), (2.9) и (4.3), получим, что

Положим Тогда

Отсюда, наконец, вытекает следующее рекуррентное соотношение:

Из равенства (4.26) для индукцией по легко получить следующую оценку 2):

Эта оценка того же типа, что и аналогичные оценки п. 4.2; из нее следует (возьмем ), что ряд (4.25) сходится в круге

Оценку (4.27) можно несколько улучшить. Так, например, если то и поэтому ввиду равенства (4.24)

При более аккуратном подсчете вместо оценок (4.27) и (4.29) из соотношений (4.26) получаются следующие неравенства):

4.4.7. Групповое свойство корреляционных функций. Теорема 4.2.3 утверждает, что функции стремятся к пределу при Поэтому и последовательности стремятся к [см. (4.22)]. Чтобы получить коэффициенты разложения по степеням активности нужно в равенстве (4.25) устремить

При этом получается, что

и ряд в правой части снова сходится в круге (4.28). Очевидно, что

В частности, при мы получаем

В последовательности в которой по определению является элементом положим

В таком случае из (4.33) следует, что

Функции называются групповыми функциями семейства корреляционных функций. В соответствии с корреляционные функции обладают групповым свойством, если групповые функции как функции разностей стремятся к нулю на бесконечности. Мы покажем, что подобное утверждение верно, при этом требование «убывания на бесконечности» мы заменим на абсолютную интегрируемость.

4.4.8. Теорема. Предположим, что взаимодействие задается устойчивым регулярным парным потенциалом Ф. Тогда групповые функции семейства корреляционных функций (определяемые равенством как функции разностей абсолютно интегрируемы при и при этом

Прежде чем доказывать оценку (4.37), выразим групповые функции через функции Урселла . Из формулы (4.18), пользуясь определением (4.16) оператора получим

где суммирование проводится по всем разбиениям последовательности на подпоследовательности Подставляя выражение (4.38) в определение (4.23) функций найдем, что

Подставим это выражение в равенство (4.32) и получим

Сравнивая последнее выражение с (4.35), найдем, что

Из оценки (4.29) при следует, что

Из соотношений (4.39) и (4.40) вытекает интегрируемость функций

где мы воспользовались формулой

И наконец, оценка (4.37) вытекает из равенства (4.36) и оценки (4.41).

1
Оглавление
email@scask.ru