§ 4.3. РЯДЫ МАЙЕРА И ВИРИАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Возвратимся теперь к теореме 4.2.3 и рассмотрим первые компоненты векторов Как и раньше

Отметим сначала следующие факты.

(а) Из инвариантности уравнения (2.66) относительно пространственных сдвигов следует, что величина как функция от представляет собой константу аналитически зависящую от в круге (3.1).

(б) Равенство (2.28) показывает, что величина допускает оценку, не зависящую от , и если где К — компакт в круге (3.1), то эту оценку можно выбрать не зависящей и от 2.

(в) Ввиду неравенства (2.35) и утверждения (4.2.4) (а) имеем

где функцию в можно выбрать не зависящей от если

Из замечаний (а), (б) и (в) следует, что при в смысле Ван Хова

равномерно на каждом компакте К, содержащемся в круге (3.1). Из равенства (2.32) видно, что является средним значением величины в большом каноническом ансамбле, т. е. плотностью, и, кроме того,

Отсюда следует, что если в смысле Ван Хова, то

Сформулируем предыдущие результаты в виде отдельной теоремы.

4.3.1. Теорема. Пусть в смысле Ван Хова. При этом следующие пределы:

существуют для всех удовлетворяющих условию (3.1). Эти пределы в круге (3.1) являются аналитическими продолжениями давления и плотности (которые имеют физический смысл и определены при При этом радиус сходимости разложений Майера

и

не меньше, чем

Эта теорема, очевидно, распространяется и на решетчатые системы (см. 4.2.5). Кроме того, в условиях теоремы 4.2.7 функции аналитичны в области (2.72). Если, как это принято, мы будем считать, что фазовые переходы происходят только в особых точках термодинамических функций (см. п. 1.1 (в)), то предыдущие результаты означают, что при фазовые переходы происходят. Мы будем говорить, что при малых значениях активности система находится в газообразной фазе.

Вместо активности в качестве параметра можно использовать плотность так как то в окрестности нуля разложение (3.9) можно обратить и подставить полученное выражение для в (3.8). Таким

образом, мы получим вириальное разложение

в котором коэффициенты вычисляются по формуле

Здесь С — круг с центром в нуле и радиусом меньшим, чем Из уравнения (2.29) и оценки (2.25) следует, что если то

и поэтому

Из оценки (3.13) видно, что на окружности справедлива оценка Отсюда следует, что

(а) радиус сходимости разложения активности по степеням не меньше, чем и то же самое верно для раз ложения (3.10);

(б) коэффициенты определяемые формулами (3.11), допускают оценку

Результаты (а) и (б) могут быть улучшены, если грубые оценки коэффициентов следующие из нера венства (3.12), заменить на более точные

получающиеся из соотношений (4.31) и (4.34), доказываемых ниже. Таким образом, доказана следующая теорема.

4.3.2. Теорема. Радиус сходимости вириального разложения

не меньше и

где

Используя более тонкую технику, Грёнвельд в статье [2] показал, что

а в случае положительного потенциала

где представляет собой положительный корень уравнения Из оценок Грёнвельда следует, что радиус сходимости вириального разложения не меньше а для положительных потенциалов Ф не меньше