Глава 7. СОСТОЯНИЯ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

В этой главе мы рассмотрим термодинамические равновесные состояния бесконечных систем. Сначала мы опишем тройки связанные с такими системами (§ 7.1), затем исследуем существование и свойства термодинамического предела равновесных состояний. В частности, мы докажем слабый вариант Гиббсовского правила фаз (§ 7.5) и установим одно замечательное свойство аналитичности (граничные условия-КМШ), справедливое для квантовых систем (§ 7.6).

§ 7.1. В-АЛГЕБРЫ В КЛАССИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

В этом параграфе мы опишем состояния, встречающиеся в статистической механике классических и квантовых систем, и укажем В-алгебры, на которых эти состояния реализуются как положительные линейные формы. В частности, мы покажем, что теория разложений, изложенная в § 6.4, позволяет построить для этих состояний однозначное интегральное представление посредством эргодических состояний. В качестве группы движений мы всегда будем рассматривать группу сдвигов пространства или решетки хотя всюду можно было бы рассматривать и более общие группы (см. 6.2.9).

7.1.1. Классические решетчатые системы. Рассмотрим для определенности случай решетчатого газа. Это означает, что в каждом узле решетки может быть одна частица или не быть ни одной. Чтобы описать конфигурацию такой системы, достаточно указать множество

занятых узлов решетки. Эта же система может быть описана и по-другому: припишем каждому узлу решетки число 0 или 1, соответствующие числу частиц в этом узле; конфигурационное пространство такой системы совпадает с произведением

множеств в числе, равном числу узлов решетки. Заметим, что множество К, рассматриваемое в топологии декартова произведения, компактно (считается, что в множестве задана дискретная топология).

Состоянием описываемой системы естественно считать вероятностную меру на пространстве К всех конфигураций, т. е. состояние на В-алгебре всех непрерывных комплекснозначных функций на К? Всякую функцию можно рассматривать как функцию на подмножествах решетки (конфигурация при этом отождествляется с множеством занятых узлов решетки).

Положим для каждого

Роль тройки в нашем случае играет тройка Поскольку алгебра абелева, то она -абелева.

Пусть А — конечное подмножество решетки обозначим через пространство комплекснозначных функций, заданных на подмножествах из А. Определим алгебру как подалгебру в , состоящую из таких элементов А, для каждого из которых найдется такая, что выполняется равенство

По теореме Стоуна — Вейерштрасса, объединение алгебр плотно в . Это показывает, что алгебра квазилокальна (см. 6.2.4). Отсюда следует также, что алгебра сепарабельна и поэтому каждое инвариантное состояние является результантом единственной меры, сосредоточенной на множестве эргодических состояний (см. предложение 6.4.3).

Пусть — состояние на алгебре ; используя обозначения формулы (1.3), можно записать

Число есть вероятность того, что все узлы множества X заняты частицами, а все узлы в свободны. Для каждого конечного подмножества мера является неотрицательной функцией на подмножествах из . Будем говорить, что меры образуют систему плотностей распределений, если выполняются следующие условия:

(а) нормированность

(б) согласованность: если , то

Ясно, что существует взаимно однозначное соответствие между состояниями на алгебре и системами плотностей распределений При этом -инвариантность состояния также выражается в терминах системы

(в) инвариантность

С каждым состоянием на алгебре можно связать корреляционную функцию , определенную на конечных подмножествах решетки и такую, что

является вероятностью того, что все узлы подмножества X одновременно заняты, Очевидно, и поэтому

и

7.1.2. Классические непрерывные системы. Для непрерывных систем конфигурацией служит счетное подмножество такое, что пересечение конечно для всякого ограниченного множества Состоянием было бы естественно называть вероятностную меру на множестве всех таких конфигураций X. Мы, однако, сначала рассмотрим другое определение состояния, а именно зададим для каждого ограниченного открытого множества вероятность найти ровно частиц в , а также распределение вероятностей их расположений.

Для каждого ограниченного открытого множества и целого числа обозначим через некоторую меру на множестве Предположим, что мера инвариантна относительно любой перестановки «координат» в Будем говорить, что меры образуют систему плотностей распределений, если они удовлетворяют следующим условиям:

где мы воспользовались обозначением

Заметим, что из (а) и (б) следует условие нормировки

Условие (б) является условием согласованности.

Корреляционные функции, соответствующие системе плотностей распределений, определяются равенством (в тех случаях, когда они существуют, см. § 4.7)

где предполагается, что Равенство (1.13) можно формально обратить, и при этом получится

Однако ряды в правой части формулы (1.14) могут расходиться; действительно, мы уже знаем, что система корреляционных функций может не определять состояния системы

С каждой системой плотностей распределений мы свяжем состояние на В-алгебре , которую мы сейчас построим.

Для каждого ограниченного открытого множества обозначим через пространство всех вещественных непрерывных функций на носители которых содержатся в области Обозначим через

пространство последовательностей в которых при достаточно больших и через — объединение пространств Наконец, обозначим через (топологическую) сумму пространств Пусть Функция на определяется так, что ее ограничение на равно

Рассмотрим функции на вида где — ограниченная непрерывная комплекснозначная функция на по отношению к обычным операциям над функциями и операции определяемой как комплексное сопряжение, функции образуют коммутативную алгебру с инволюцией. Замыкание алгебры в равномерной норме представляет собой абелеву -алгебру.

Построим состояние на алгебре по заданному семейству плотностей распределений Для каждой функции обозначим через такую область, что и положим

Можно показать, что это определение не зависит от выбора области и что функционал продолжается по непрерывности до состояния, заданного на всей алгебре . Обозначим через множество состояний, которые могут быть получены описанным способом из подходящей системы плотностей распределений; таким образом, отображение взаимно однозначно на

Каждому сдвигу в пространстве очевидно, соответствует автоморфизм алгебры . Система плотностей

распределений определяет инвариантное состояние, если она удовлетворяет условию

при всех

Поскольку алгебра 21 несепарабельна, то разложение инвариантных состояний на эргодические нельзя получить, применяя предложение 6.4.3. Однако можно показать, что при подходящем выборе , можно воспользоваться предложением 6.4.5 и получить разложение инвариантных состояний из множества на эргодические состояния, также принадлежащие Более того, каждое инвариантное состояние из допускает единственное интегральное разложение на чистые состояния из множества. Эти чистые состояния могут быть отождествлены с бесконечными конфигурациями X, определяемыми как счетные подмножества каждой точке которых приписана конечная кратность, такие, что множества конечны, для любого ограниченного множества

Отметим еще связь между гильбертовым пространством, построенным в § 4.7, и конструкцией Гельфанда — Сигала, соответствующей состоянию Можно показать, что для каждой последовательности существует такой самосопряженный (неограниченный) оператор что для всех выполняются равенства

«Поле» может быть введено так, чтобы выполнялось равенство (7.16) гл. 4; существование корреляционных функций (определяемых равенством (7.17) гл. 4) зависит от того, принадлежит вектор области определения всех операторов или нет.

7.1.3. Квантовые решетчатые системы. Мы уже объясняли (см. 1.3.3), что для квантовых решетчатых систем с каждым конечным подмножеством естественно связано конечномерное гильбертово пространство В § 2.2 мы заметили, что если , то естественный изоморфизм

определяет изоморфное вложение

С-алгебры всех ограниченных операторов в в С-алгебру всех ограниченных операторов в

Кроме того, для каждого сдвига а из определен изоморфизм задаваемый формулой

где оператор задается формулой (2.1) гл. 2. Легко убедиться, что удовлетворяют условиям и поэтому определяют квазилокальную В-алгебру , которую мы и будем считать В-алгеброй, соответствующей квантовой решетчатой системе.

Алгебра сепарабельна. и поэтому в силу предложения 6.4.3 каждое инвариантное состояние допускает единственное разложение на эргодические состояния.

Любое состояние на алгебре определяется своими ограничениями на алгебры С другой стороны, для каждого состояния заданного на алгебре существует единственная матрица плотности определенная в пространстве и такая, что для каждого оператора

Поэтому задание состояния на алгебре эквивалентно заданию системы матриц плотности определенных для всех подмножеств таких, что

Инвариантность состояния выражается условием

7.1.4. Фоковское представление. Прежде чем описывать В-алгебры непрерывных квантовых систем, мы сформулируем основные факты о фоковском представлении канонических коммутационных и антикоммутационных соотношений.

В п. 1.3.1 (в) мы определили фоковское пространство соответствующее измеримому (по Лебегу) подмножеству как прямую сумму

где через обозначено пространство квадратично суммируемых функций на симметричных (при или антисимметричных (при по всем своим аргументам.

Пусть — вещественная квадратично суммируемая функция на ; определим оператор уничтожения а и оператор рождения а следующим образом: пусть положим

Обозначение указывает, что переменная должна быть пропущена. Операторы а очевидно, определены на множестве состоящем из векторов с конечным числом ненулевых компонент. Эти операторы удовлетворяют следующим соотношениям:

где Тождества (1.29) и (1.30) задают так называемые канонические коммутационные соотношения (ККС) при и канонические антикоммутационные соотношения (КАС) при

В случае ККС удобно рассматривать симметричные операторы

Можно показать, что операторы однозначно расширяются с области до (неограниченных) самосопряженных операторов.

В случае КАС при всех имеем

так что операторы ограничены.

Поскольку отображения линейны, можно записать

вводя «полевые» обозначения В этих обозначениях ККС могут быть формально переписаны в виде

Среднее по ансамблю для системы, заключенной в ограниченной области А, определяется матрицей плотности действующей в

Явное выражение для приведено в 1.3.1. Следующие выражения, если только они существуют, задают приведенные матрицы плотности конечного объема (см. § 4.6)

Если сделать соответствующие предположения, то при эти приведенные матрицы плотности стремятся к некоторому пределу. Этот предел описывает состояние бесконечной системы. Но, поскольку в случае ККС операторы неограничены, при рассмотрении приведенных матриц плотности мы встречаемся с теми же трудностями, что и для корреляционных функций классических непрерывных систем. Чтобы избавиться от этих трудностей, естественно рассмотреть вместо выражения (1.35) среднее значение ограниченных функций от операторов В случае КАС мы можем воспользоваться ограниченными функциями от (ограниченных) операторов В обоих случаях мы получаем таким образом состояние на С-алгебре всех ограниченных операторов в

Ограничение состояния бесконечной системы на ограниченную область определяет состояние на алгебре Мы всегда будем предполагать, что состояние задается матрицей плотности, действующей в Это условие практически означает, что вероятность одновременного пребывания в области А бесконечного множества частиц равна нулю. С другой стороны, для бесконечной системы вероятность того, что в число частиц бесконечно, как правило, равна единице. Поэтому такие состояния бесконечной

системы не могут быть описаны матрицами плотности в

Опишем, как оператор из отождествляется с оператором из при Пусть определим изоморфизм

следующим образом. Пусть Вектор V, соответствующий произведению при изоморфизме (1.36), есть вектор с компонентами

где Функции продолжаются на по симметричности или антисимметричности.

В частности, если , то

и поэтому определен изоморфизм

-алгебры всех ограниченных операторов в в С-алгебру всех ограниченных операторов в Читатель может проверить, что изоморфизм (1.39) переводит операторы рождения и уничтожения и действующие в в операторы рождения и уничтожения, действующие в

Для определим изометрию пространства на пространство по формуле

Изоморфизм С-алгебры всех ограниченных операторов, действующих в на С-алгебру всех ограниченных операторов, действующих в , задается равенством

7.1.5. Квантовые непрерывные системы. Бозоны.

В этом пункте будет обозначать С-алгебру всех ограниченных операторов в пространстве Легко убедиться, что тройка: алгебры изоморфизм (определенный равенством (1.39)) и представление (определенное формулой (1.41)) удовлетворяет условиям (а), (б) и (в) п. 6.2.4 и поэтому задает квазилокальную В-алгебру , которую мы будем называть В-алгеброй бозе-системы.

Нас интересует множество состояний, заданных на алгебре , которые на каждой алгебре задаются матрицей плотности Другими словами, задание такого состояния должно быть эквивалентно заданию системы матриц плотности соответствующих всевозможным ограниченным измеримым подмножествам таким, что

Инвариантности состояния соответствует условие

Заметим, что состояние на алгебре описывается матрицей плотности тогда и только тогда, когда норма его ограничения на идеал состоящий из вполне

непрерывных операторов, равна 1. Таким образом, со стояния из множества можно охарактеризовать как такие состояния, ограничения которых на каждый идеал имеют норму 1, в действительности достаточно потребовать этого для счетного семейства идеалов где область представляет собой шар целочисленного радиуса с центром в начале координат. Поскольку идеал сепарабелен, можно воспользоваться предложением 6.4.5, из которого следует, что каждое инвариантное состояние из множества единственным образом разлагается на эргодические состояния.

7.1.6. Квантовые непрерывные системы. Фермионы.

В этом пункте будет обозначать С-алгебру всех ограниченных операторов, действующих в пространстве Легко убедиться, что тройка: алгебра изоморфизм (определенный равенством и представление та (определенное равенством удовлетворяет условиям (а) и но не удовлетворяет условию Алгебра Й может быть построена так, как это указано в но она оказывается не квазилокальной. Тем не менее, как мы покажем, она является -абелевой.

Положим где

и для всякого положим

где

Операторы естественно назвать четной и нечетной частью оператора А. Из равенств (1.38) и (1.39) при получаем

Заметим также, что

Пусть области не пересекаются, и пусть

Легко видеть, что

Отсюда получаем

Эти равенства подразумевают некоторые канонические изоморфизмы, которые мы явно не указываем.

Пусть обозначает -инвариантное состояние на алгебре Выберем векторы так, чтобы множества не пересекались попарно между собой и с множеством тогда

и, следовательно,

Полагая в и применяя теорему 6.2.8, мы получим, что алгебра является -абелевой. Кроме того, из оценки (1.47) видно, что для всех нечетных Это означает, что всякое инвариантное состояние обязательно является четным состоянием. Существует взаимно однозначное соответствие между четными состояниями на алгебре и состояниями на алгебре порожденной всеми четными элементами всех алгебр Таким образом, вместо алгебры в качестве В-алгебры ферми-систем можно рассматривать квазилокальную

Нас интересует множество состояний на алгебре , задаваемых на каждой алгебре матрицей плотности Каждое состояние соответствует семейству матриц плотности, удовлетворяющих условию согласованности (1.42), как и в случае бозе-систем. Инвариантность такого состояния выражается условием (1.43), которое в свою очередь влечет

для всех нечетных операторов Таким образом, матрицы плотности перестановочны с операторами ортогонального проектирования на подпространства

Точно так же, как и в случае бозе-систем, состояния из множества могут быть описаны как такие состояния, ограничение которых на каждую из алгебр имеет норму 1. Таким образом, каждое инвариантное состояние из множества единственным образом разлагается на эргодические.