§ 1.3. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ И АНСАМБЛИ

Если в классических системах наблюдаемые величины есть вещественные функции, определенные на фазовом или конфигурационном пространстве системы, то в квантовых системах каждой наблюдаемой величине соответствует самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний системы. В классической статистической механике для определения среднего по ансамблю мы использовали вероятностную меру на фазовом или конфигурационном пространстве системы. В квантовой статистической механике для этой цели служит матрица плотности,

определенная в гильбертовом пространстве состояний системы. Ненормированной матрицей плотности называется положительно определенный оператор, обладающий следом. Каждый квантовый ансамбль задается соответствующим оператором Т, и среднее величины А определяется так:

1.3.1. Квантовые непрерывные системы.

Как и в классическом случае, мы ограничимся системами в пространстве состоящими из одинаковых частиц, обладающих только поступательными степенями свободы. Система, содержащая частиц, описывается гамильтонианом вида

где — оператор Лапласа по координате частицы, действует на волновую функцию как оператор умножения. Если система заключена в ограниченной области , то оператор действует в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых (по Лебегу) функций, зависящих от переменных Выражение (3.2) для гамильтониана следует, кроме того, дополнить условием, что граница области является «бесконечно отталкивающей». При таком условии гамильтониан становится самосопряженным оператором ограниченным снизу. Его спектр состоит из изолированных собственных значений конечной кратности (см. § 3.5).

Обычно требуют, чтобы волновая функция квантовой системы, состоящей из одинаковых частиц, была либо симметрична (если частицы — «бозоны»), либо антисимметрична (если частицы — «фермионы») относительно перестановки аргументов, соответствующих этим

частицам. Пусть подпространство пространства состоящее из функций, симметричных либо антисимметричных относительно перестановки своих аргументов. Гамильтониан симметричен относительно перестановки частиц. Поэтому его можно ограничить на пространство в случае бозонов (статистика Бозе — Эйнштейна, или Б.-Э.-статистика) и на пространство в случае фермионов (статистика Ферми — Дирака, или Ф.-Д.-статистика). Иногда бывает интересно рассмотреть случай, когда на волновую функцию не накладывается никаких условий симметрии и гильбертовым пространством системы остается пространство (статистика Максвелла—Больцмана, или М.-Б.-статистика).

(а) Квантовые непрерывные системы, микроканонический ансамбль. Исходное определение классического микроканонического ансамбля с помощью формул (1.1) и (1.4) не имеет удовлетворительного квантового аналога из-за дискретности спектра гамильтониана Мерам же (2.2) и (2.3) соответствуют следующие ненормированные матрицы плотности в пространстве

где — собственные значения оператора —

проектор на соответствующее собственное подпространство.

В случае Б.-Э.- или Ф.-Д.-статистик следует ограничить операторы на пространства и заменить выражения (3.3) и (3.4) следующими:

(б) Квантовые непрерывные системы, канонический ансамбль. Для канонического ансамбля ненормированная матрица плотности, действующая в пространстве имеет вид

Матрица плотности на пространствах имеет вид

(в) Квантовые непрерывные системы, большой канонический ансамбль. Так как в большом каноническом ансамбле число частиц не фиксировано, соответствующая матрцца плотности определена на прямой сумме пространств

Для Б.-Э.- и Ф.-Д.-статистик областью определения матрицы плотности является

где соответственно статистике, а пространство является пространством Фока, соответствующим области . Назовем оператором числа частиц самосопряженный неограниченный оператор, действующий в пространстве или и имеющий собственные подпространства или с соответствующими собственными значениями Очевидно, Самосопряженный оператор в пространстве или ограничения которого на подпространства или (предполагаемые инвариантными для него) совпадают с называется полным гамильтонианом. Очевидно, что и коммутируют. Теперь большой канонический ансамбль в пространстве можно определить с помощью ненормированной матрицы плотности вида

а в пространстве — с помощью матрицы плотности