§ 5.4. НЕРАВЕНСТВА ГРИФФИТСА

Существенным пунктом в доказательстве теоремы 5.3.1 является неравенство (3.14). На языке спиновых систем это неравенство означает следующее: потребуем, чтобы все спины частиц, находящихся на границе куба , были направлены «вниз», тогда и остальные спины будут стремиться смотреть «вниз». Таким образом, можно сказать, что если выполнено условие (3.5), то спины стремятся быть направленными в одну сторону. В частности, спины стремятся быть упорядоченными, если потенциал отрицателен, и естественно ожидать,

что чем более отрицателен потенциал тем упорядоченнее расположены спины. Эти рассуждения приводят к весьма общей теореме 5.4.1, которой мы воспользуемся при распространении результатов § 5.3 о существовании фазовых переходов первого рода в решетчатых системах.

5.4.1. Теорема. Рассмотрим конечное множество и пусть принимает значение для каждого Для каждого подмножества положим

и пусть или Введем обозначения

Суммирование в (4.3) и (4.4) производится по всем наборам В этих обозначениях

для всех подмножеств и справедливы следующие неравенства:

Доказательство. Тождество (4.5) вытекает непосредственно из определений.

При доказательстве неравенств (4.6) и (4.7) мы воспользуемся тем, что среднее (4.4) не меняется, если

к добавить произвольную константу. Положим , кроме того,

В этих обозначениях

Ясно, что принимает только значения Поэтому из (4.8) следует, что

Введем обозначения

Тогда и

5.4.2. Доказательство неравенства (I). Предположим сначала, что для всех ; в этом случае из (4.11) и (4.12) следует, что при всех и из (4.14) мы получаем

Тем самым мы доказали неравенство I в этом простом случае.

В общем случае применим индукцию по числу подмножеств У из , для которых

Предположим, что выражение

положительно, если только для подмножеств У из . Обозначим через подмножество из .

Мы хотим доказать, что выражение (4.16) положительно при всех 0. Удобно рассматривать правую часть (4.16) как функцию от переменной поскольку из (4.13) и (4.14) следует, что является линейной (неоднородной) функцией Так как множеством значений служит отрезок [0,1], то достаточно проверить, что

Из предположения индукции следует, что так как если С другой стороны значение соответствует так что в этом случае если поэтому

Заметим, что множители входящие в (4.17) и соответствующие только таким о, для которых не зависят от поэтому они такие же, как и при Итак, мы получили

где математические ожидания вычисляются при и поэтому положительны (по предположению индукции). Итак, что доказывает неравенство (I).

5.4.3. Предварительные замечания к доказательству неравенства Введем обозначения

В этих обозначениях имеем

Из соотношений (4.13) и (4.22) следует, полином по степень которого по каждой переменной не превосходит двух. Кроме того, это выражение однородно по с показателем 1 (потому что и пропорциональны пропорциональны

Каждый полинам единственным образом представляется в виде

где суммирование производится по непустым подмножествам множества индексов

и полиномы являются четными функциями по каждой переменной . Если заменить на и вместо писать то мы получим представление функции в виде

где так как — однородная функция с показателем 1 по Следующая лемма дает некоторую информацию о структуре произведений

5.4.4. Лемма. Пусть а и пусть произведение представлено в виде (4.23)

Тогда найдется такое подмножество что входит множителем в нечетно. (4.27) Доказательство. Положим

Из выражения (4.13) вытекает, что следующие утверждения эквивалентны

Отсюда следуют эквивалентности

С другой стороны,

Из утверждений (4.29) и (4.30) вытекает эквивалентность (4.27). Лемма доказана.

5.4.5. Замечания

(а) Подмножества 5 куба , для которых нечетно, составляют ровно половину общего числа подмножеств. Поэтому ввиду (4.27) половина переменных входит в

Пусть и равенство

представляет собой разложение произведения соответствующее формуле (4.26). Если , то обязательно найдутся такие переменные которые входят в и не входят в

(в) Из равенств (4.20), (4.21) и (4.22) следует, что представляет собой сумму членов вида где . Поэтому если в равенстве то найдутся такие подмножества Та, для которых справедлива эквивалентность (4.27). В частности, справедливы предыдущие замечания (а) и

5.4.6. Доказательство неравенства Поскольку при всех то каждый моном в (4.25) положителен. Поэтому, чтобы доказать неравенство (II) (т. е. достаточно показать, что при всех а.

До сих пор мы рассматривали сумму как полином от всех переменных где . Для фиксированного обозначим через полином от переменных для которых четно, получающийся, если в полиноме всем переменным для которых

нечетно, придать значение Мы можем представить полином в виде (4.23), тогда

Как уже говорилось, для получения полинома мы положили в точности для всех переменных входящих в Поэтому из 5.4.5 (б) следует, что

Обозначим через многочлены, получаемые из и если для всех таких, что нечетно.

Определим перестановку множества всех расположений а равенством

Заметим, что ввиду (4.13) и (4.34)

Если входит в то лемма 5.4.4 показывает, что нечетно; поэтому

и аналогично

Из определений (4.20) и (4.21) многочленов используя равенства (4.35), (4.36) и (4.37), легко получить, что

Поэтому

Подставляя (4.20) в (4.39) и отделяя квадраты и попарные произведения, приведем (4.39) к виду

Здесь

Многочлен является суммой слагаемых вида для не входит сомножителем в Ввиду 5.4.5 (б) существует переменная входящая в и не входящая в поэтому не дает вклада в член из (4.32) и

Заметим теперь, что из выражения (4.41) следует, что многочлен имеет вид правой части (4.17), где некоторые из переменных следует заменить на (и по-прежнему а некоторые — на 1. Эта замена сохраняет справедливость утверждения о положительности правой части (4.17). Итак, мы показали, что ввиду соотношений (4.42) и (4.33) отсюда следует, что а это в свою очередь доказывает неравенство (II).

В качестве первого применения теоремы 5.4.1 мы докажем вариант теоремы 5.3.1, уточняющей результат статьи Ф. А. Березина и Я. Г. Синая [1].

5.4.7. Теорема. Сохраним все обозначения и предположения теоремы 5.3.1, заменив только условие (3.5) на следующее-. , кроме того, для некоторых линейно независимых векторов При этих условиях в точке происходит фазовый переход первого рода, если только температура достаточно мала.

Сделав, если необходимо, замену координат, мы можем считать, что Положим

Существование фазового перехода первого порядка мы докажем, используя предложение 5.3.3 и рассмотрев вместо куба область

где — множество точек в представимых в виде линейной комбинации (с рациональными коэффициентами) точек из (рис. 16).

Рис. 16. Пример множества (кружки) и (кружки и крестики) при Жирной линией обведена область .

Обозначим через множество всех точек из для которых вектор не представим в виде с коэффициентами равными нулю или

В качестве множества фигурирующего в предложении 5.3.3, мы рассмотрим семейство всех подмножеств из Ясно, что равенство (3.13) выполнено; остается доказать оценку (3.14). Левую часть неравенства (3.14) можно переписать в виде

где

Выразим теперь величины (4.45) и (4.46) в терминах теоремы 5.4.1. Для каждого подмножества из и

положим если если Пусть

В этих обозначениях имеем

Выражение (4.45) можно теперь переписать в виде

Воспользуемся теперь теоремой 5.4.1 для того, чтобы сравнить (4.51) с аналогичным выражением, получающимся при другом выборе Пусть если в остальных случаях положим При положим Ясно, что поэтому из неравенств (4.5) и (4.7) следует

где при вычислении среднего использована функция Поэтому

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что если Взаимодействие рассматриваемое на множестве соответствует парному

потенциалу такому, что Поэтому условие (3.5) выполнено и для взаимодействия Ф справедлива оценка (3.14). Поскольку левая часть неравенства (3.14) имеет вид (4.51), то

Отсюда ввиду (4.52) следует, что

Поэтому оценка (3.14) выполняется и для взаимодействия Ф. Теорема 5.4.6 доказана.

5.4.8. Фазовые переходы в решетчатых газах с отрицательным взаимодействием. Для решетчатых газов с отрицательным парным взаимодействием нам известна довольно детальная информация о возможностях фазовых переходов. Пусть, как и раньше, величина определяется равенством (1.17). В § 5.1 было показано, что фазовый переход возможен только при С другой стороны, в § 5.2 показано, что при больших значениях температуры фазовых переходов не происходит. Теорема 5.4.6 показывает, что при малых температурах происходит фазовый переход первого рода, если взаимодействие существенно неодномерно. В случае «одномерного» взаимодействия можно доказать !), что если потенциал этого взаимодействия достаточно быстро убывает на бесконечности, то фазовый переход невозможен ни при каких значениях

5.4.9. Спиновые системы. Пусть множеством , фигурирующим в теореме 5.4.1, служит некоторое конечное подмножество решетки Если при то потенциальная энергия (4.2) может быть записана в виде

что соответствует системе частиц со спином при отсутствии внешнего магнитного поля. Предположим дополнительно, что функция трансляционно инвариантна

Если во всех случаях, когда х и у не являются ближайшими соседями, то выражение (4.54) определяет потенциальную энергию модели Изинга. Как хорошо известно, в термодинамическом пределе все термодинамические функции в одномерной и двумерной моделях Изинга могут быть вычислены точно и в замкнутом виде.

При в так называемой «точке Кюри» происходит фазовый переход, проявляющийся в нарушении регулярности термодинамических функций. Ниже температуры фазового перехода в модели Изинга существует «дальний порядок» в том смысле, что

Теорема 5.4.1 показывает, что (ахау) убывает по мере убывания поэтому и «температура Кюри», при которой появляется дальний порядок, тоже убывают одновременно с . На этом пути можно доказать существование дальнего порядка для многих систем.

Если к (4.5,4) добавить член, соответствующий магнитному полю, то потенциальная энергия примет вид

Предположение трансляционной инвариантности приводит к тому, что (напряженность магнитного поля) оказывается не зависящей от х. Определим

термодинамическую «удельную намагниченность (на спин)» равенством

Изучение спиновых систем, находящихся в магнитном поле, с потенциальной энергией (4.56) математически эквивалентно изучению решетчатого газа с потенциальной энергией (3.1). При такой эквивалентности химический потенциал решетчатого газа соответствует линейной функции от напряженности магнитного поля спиновой системы, а плотность соответствует Теорема 5.4.7 показывает, что при малых значениях температуры решетчатый газ испытывает фазовый переход первого рода, т. е. его плотность как функция активности имеет разрыв первого рода (скачок). В переводе на язык спиновых систем это означает, что а как функция претерпевает скачок, т. е. величина

положительна при малых значениях Назовем спонтанной намагниченностью. Из теоремы 5.4.1 следует, что она является убывающей функцией взаимодействия Теорема 5.2.1 показывает, что при больших значениях спонтанная намагниченность отсутствует (т. е. Этот результат может быть получен и непосредственно.