§ 4.6. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ

В своих работах Ж. Жинибр показал, что методы, развитые в § 4.2 и 4.4 для классических систем, могут быть распространены и на квантовые системы. В этом параграфе мы без доказательств опишем основные моменты этого обобщения, основанного на использовании винеровского интеграла.

Траекторией со в пространстве называется отображение отрезка вещественной прямой в Условной винеровской мерой называется мера на траекториях, таких, что Если функционал определенный на таких траекториях, имеет вид

т. е. если значение зависит только от положения траектории со в моменты где то

по определению положим

При помощи стандартных приемов общей теории интегрирования это определение можно распространить на широкий класс функционалов Можно показать, что мера сосредоточена на непрерывных траекториях, «соединяющих точки х и у», другими словами, мера множества всех остальных траекторий равна нулю. Будем писать

и для открытой ограниченной связной области в обозначать через характеристическую функцию множества траекторий, содержащихся в . Пусть функция Положим

При подходящих ограничениях, налагаемых на вещественную функцию заданную на формула (6.4) определяет ограниченный оператор в который может быть выражен при помощи формулы Каца

где А обозначает оператор Лапласа в — самосопряженное расширение симметрического

оператора определенного на дважды непрерывно дифференцируемых функциях, носители которых лежат в области А.

Нас будет особо интересовать случай, когда и траектория соответствует траекториям частиц» в пространстве Предположим, что эти частицы взаимодействуют при помощи парного потенциала Ф, и пусть

Для каждой ограниченной открытой связной области в мы определим гамильтониан системы частиц, заключенных в области , равенством

Ядро оператора ввиду равенства (6.5) может быть записано в виде

Формула (6.8) дает доступ к исследованию квантового аналога корреляционных функций, а именно приведенных матриц плотности. Мы ограничимся для простоты статистикой Максвелла — Больцмана (М.-Б.). В этом случае -частичная приведенная матрица плотности

определяется как интегральный оператор с ядром

где

В этих формулах . Используя равенство (6.8), мы можем переписать определения (6.9) и (6.10) в виде

и

где

И наконец, мы можем представить (6.11) в виде

где мы воспользовались обозначением

Заметим теперь, что предыдущие формулы очень напоминают формулы, определяющие большую статистическую сумму и корреляционные функции для классических систем. Действительно, для того чтобы получить формулы (6.12) и (6.15) из (2.4) и (2.5), следует лишь заменить точки на траектории со, лебеговский интеграл на винеровский интеграл на функцию определенную равенством (6.13). Поэтому естественно вначале изучить функционалы используя ту же технику (интегральные уравнения или алгебраический подход), которая была применена при исследовании корреляционных функций, а приведенные матрицы плотности получить затем интегрированием (6.14).

Прежде чем сформулировать результаты, полученные таким путем, мы уточним ограничения, накладываемые на потенциал Ф парного взаимодействия. Функция Ф предполагается непрерывной (кроме, может быть, начала координат при устойчивой и абсолютно интегрируемой. Можно также рассмотреть случай твердого ядра при В этом случае от потенциала Ф требуется непрерывность и абсолютная интегрируемость на дополнении к шару Если эти ограничения выполнены и достаточно мал, то приведенные матрицы плотности где А — шар с центром в начале координат, стремятся к пределу в смысле сильной топологии в пространстве операторов на когда радиус А стремится к бесконечности. При этом вириальное разложение

и разложения Майера сходятся в круге положительного радиуса.

Сформулированные результаты справедливы для статистики Максвелла — Больцмана. Для статистик Бозе-Эйнштейна (Б.-Э.) и Ферми—Дирака (Ф.-Д.) определения (6.9) и (6.10) нужно заменить на следующие:

Здесь обозначает перестановку переменных в (6.16) и переменных в (6.17), суммирование производится по всем перестановкам соответствующего числа переменных, при этом для бозонов и обозначает знак перестановки для фермионов.

Понятно, что переход к другой статистике приводит к заметным осложнениям. Тем не менее сформулированные выше результаты остаются справедливыми и для обеих квантовых статистик при условии, что либо либо потенциал Ф обладает твердым ядром и удовлетворяет условию (2.14) гл. 3.

Доказательства можно найти в оригинальных статьях.