Главная > Статистическая механика. Строгие результаты
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4.6. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ

В своих работах Ж. Жинибр показал, что методы, развитые в § 4.2 и 4.4 для классических систем, могут быть распространены и на квантовые системы. В этом параграфе мы без доказательств опишем основные моменты этого обобщения, основанного на использовании винеровского интеграла.

Траекторией со в пространстве называется отображение отрезка вещественной прямой в Условной винеровской мерой называется мера на траекториях, таких, что Если функционал определенный на таких траекториях, имеет вид

т. е. если значение зависит только от положения траектории со в моменты где то

по определению положим

При помощи стандартных приемов общей теории интегрирования это определение можно распространить на широкий класс функционалов Можно показать, что мера сосредоточена на непрерывных траекториях, «соединяющих точки х и у», другими словами, мера множества всех остальных траекторий равна нулю. Будем писать

и для открытой ограниченной связной области в обозначать через характеристическую функцию множества траекторий, содержащихся в . Пусть функция Положим

При подходящих ограничениях, налагаемых на вещественную функцию заданную на формула (6.4) определяет ограниченный оператор в который может быть выражен при помощи формулы Каца

где А обозначает оператор Лапласа в — самосопряженное расширение симметрического

оператора определенного на дважды непрерывно дифференцируемых функциях, носители которых лежат в области А.

Нас будет особо интересовать случай, когда и траектория соответствует траекториям частиц» в пространстве Предположим, что эти частицы взаимодействуют при помощи парного потенциала Ф, и пусть

Для каждой ограниченной открытой связной области в мы определим гамильтониан системы частиц, заключенных в области , равенством

Ядро оператора ввиду равенства (6.5) может быть записано в виде

Формула (6.8) дает доступ к исследованию квантового аналога корреляционных функций, а именно приведенных матриц плотности. Мы ограничимся для простоты статистикой Максвелла — Больцмана (М.-Б.). В этом случае -частичная приведенная матрица плотности

определяется как интегральный оператор с ядром

где

В этих формулах . Используя равенство (6.8), мы можем переписать определения (6.9) и (6.10) в виде

и

где

И наконец, мы можем представить (6.11) в виде

где мы воспользовались обозначением

Заметим теперь, что предыдущие формулы очень напоминают формулы, определяющие большую статистическую сумму и корреляционные функции для классических систем. Действительно, для того чтобы получить формулы (6.12) и (6.15) из (2.4) и (2.5), следует лишь заменить точки на траектории со, лебеговский интеграл на винеровский интеграл на функцию определенную равенством (6.13). Поэтому естественно вначале изучить функционалы используя ту же технику (интегральные уравнения или алгебраический подход), которая была применена при исследовании корреляционных функций, а приведенные матрицы плотности получить затем интегрированием (6.14).

Прежде чем сформулировать результаты, полученные таким путем, мы уточним ограничения, накладываемые на потенциал Ф парного взаимодействия. Функция Ф предполагается непрерывной (кроме, может быть, начала координат при устойчивой и абсолютно интегрируемой. Можно также рассмотреть случай твердого ядра при В этом случае от потенциала Ф требуется непрерывность и абсолютная интегрируемость на дополнении к шару Если эти ограничения выполнены и достаточно мал, то приведенные матрицы плотности где А — шар с центром в начале координат, стремятся к пределу в смысле сильной топологии в пространстве операторов на когда радиус А стремится к бесконечности. При этом вириальное разложение

и разложения Майера сходятся в круге положительного радиуса.

Сформулированные результаты справедливы для статистики Максвелла — Больцмана. Для статистик Бозе-Эйнштейна (Б.-Э.) и Ферми—Дирака (Ф.-Д.) определения (6.9) и (6.10) нужно заменить на следующие:

Здесь обозначает перестановку переменных в (6.16) и переменных в (6.17), суммирование производится по всем перестановкам соответствующего числа переменных, при этом для бозонов и обозначает знак перестановки для фермионов.

Понятно, что переход к другой статистике приводит к заметным осложнениям. Тем не менее сформулированные выше результаты остаются справедливыми и для обеих квантовых статистик при условии, что либо либо потенциал Ф обладает твердым ядром и удовлетворяет условию (2.14) гл. 3.

Доказательства можно найти в оригинальных статьях.

1
Оглавление
email@scask.ru