§ 2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ АНСАМБЛЕЙ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛА ЧАСТИЦ И ЭНЕРГИИ

В гл. 3 (см. п. 3.4.4) объяснено, что термодинамические величины, получаемые с помощью различных ансамблей — микроканонического, канонического и большого канонического — совпадают при определенном соответствии между термодинамическими параметрами, определяющими эти ансамбли: — для микроканонического, — для канонического, — для большого канонического ансамблей. Этот факт означает термодинамическую эквивалентность ансамблей. Однако для случая однофазных систем [т. е. систем, для которых гиббсовское состояние единственно (см. § 1 этого приложения)] имеет, по-видимому, место более сильная эквивалентность, означающая, что совпадают все предельные характеристики (скажем, корреляционные функции), получаемые из разных ансамблей. Доказательство такой эквивалентности между малым и большим каноническими ансамблями в определенной области термодинамических параметров содержится по существу в работе Боголюбова, Петрины и Хацета [1] (дополненной замечанием Симятицкого а именно, из этой работы вытекает следующая теорема:

2.1. Теорема. Пусть задана система частиц с парным потенциалом удовлетворяющим условию 3.2.8 этой книги, тогда для каждого можно указать такие значения что:

1) соответствие

где — термодинамические потенциалы соответственно малого и большого ансамблей, взаимно однозначно для принадлежащих соответственно интервалам

2) для существуют термодинамические пределы корреляционных функций большого и малого канонических ансамблей, и для связанных соответствием эти пределы равны .

Из этой теоремы, в частности, легко следует, что при малых значениях состояние Гиббса в малом каноническом ансамбле, заключенном в конечном сосуде Л, сходится при предельному гиббсовскому состоянию, которое совпадает с предельным гиббсовским состоянием, полученным из большого ансамбля при соответствующем значении Заметим тут, что такое совпадение предельных гиббсовских состояний (и предельных корреляционных функций), вообще говоря, уже не имеет места для двухфазных систем (см. § 3 этого приложения). Доказательства в работе Боголюбова, Петрины и Хацета (а также в заметке Симятицкого) основаны на непосредственном изучении корреляционных уравнений, аналогичных уравнениям Кирквуда — Зальцбурга (см. гл. 4 этой книги). Их метод восходит к опубликованной в 1949 году статье Боголюбова и Хацета [1], в которой впервые было начато математически строгое изучение термодинамического предельного перехода для корреляционных функций. Заметим, что в решетчатом случае ввиду имеющейся двойственности между пустотой и частицей соответствие (П.2.1) верно также для принадлежащих соответственно интервалам а для достаточно малых — при всех значениях и

поэтому теорема 2.1 может быть распространена и на этот случай.

В работе Халфиной [1], получившей тот же результат о совпадении предельных корреляционных функций малого и большого ансамблей, а также соответствующих предельных состояний при дополнительном предположении о наличии твердой сердцевины, использованы другие соображения. Эта работа основана на изучении асимптотики при распределения вероятностей для числа частиц в большом каноническом ансамбле. Связь между этими двумя проблемами можно понять, исходя из следующего замечания. Пусть — вероятность события в малом каноническом ансамбле для системы из частиц, заключенной в сосуде а через обозначена соответствующая вероятность в большом ансамбле (с произвольным тогда

Далее, точное изучение асимптотики вероятностей, входящих в числитель и знаменатель последней дроби (при больших и и фиксированном 5) показывает, что в термодинамическом пределе эта дробь стремится к единице и тем самым имеет тот же предел, что и (существование же последнего предела установлено, например, в работе Минлоса [1]). Что же касается асимптотики обоих распределений вероятностей для числа частиц (как безусловного, так и условного), точнее, распределения вероятностей для флуктуаций числа частиц относительно своего среднего значения, то они оказываются асимптотически гауссовыми. Это обстоятельство следует из свойств регулярности гиббсовского состояния при малых значениях активности.

Отметим, что для классических систем эквивалентность в аналогичном смысле малого и микроканонического

ансамблей может быть получена с помощью подобных же рассуждений, хотя пока это еще нигде не опубликовано. Что касается решетчатого случая, то в работе Минлоса и Халфиной [1] доказано, что для флуктуации энергии и числа частиц имеет место центральная предельная теорема в интегральной форме. Из этого результата уже легко вывести предельную эквивалентность большого канонического ансамбля и усредненного микроканонического ансамбля (см. п. 1.2.1), если отрезок усреднения где — некоторая фиксированная константа.