ДОБАВЛЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА
Д.1. НЕКОТОРЫЕ ТЕРМИНЫ
Д.1.1. Обозначения. Для любых двух вещественных чисел а и 
таких, что 
через 
обозначается соответствующий открытый интервал, через 
— замкнутый интервал (отрезок) и через 
— множество 
(полуоткрытый интервал).
Буква 
будет обозначать кольцо целых чисел, буква 
— поле вещественных, 
поле комплексных чисел. 
обозначают пространства всех упорядоченных наборов из 
целых, действительных или комплексных чисел соответственно. Началом координат в 
так же как в 
является набор (
Если А и В — подмножества некоторого множества, то через 
мы обозначим дополнение в А к 
.
Д.1,2. Равностепенная непрерывность. Семейство 
вещественных или комплексных функций, заданных на топологическом пространстве Е, называется равностепенно непрерывным, если для любого 
и любого 
найдется такая окрестность 
точки х, что при всех а
Если семейство функций 
равностепенно непрерывно и функции 
сходятся на всюду плотном подмножестве множества Е, то они сходятся всюду на Е.
Д. 1.3. Полунепрерывность сверху. Функция 
заданная на множестве Е и принимающая значения в 
называется полунепрерывной сверху (п. н. с.), если для всякого 
существует такая окрестность 
точки х, что
Эквивалентное условие состоит в том, что для любого вещественного числа а множество 
открыто или что множество 
замкнуто.
Нижняя грань семейства непрерывных вещественнозначных функций, заданных на множестве Е, всегда п. н. с. Если множество Е — компакт и функция 
- п. н. с., то существует точка 
, такая, что
Иными словами, п. н. с. функция, заданная на компакте, достигает своей верхней грани.
Д.1.4. Выпуклость. Пусть Е — вещественное векторное пространство. Множество 
называется выпуклым, если
Выпуклой оболочкой множества 
называется наименьшее выпуклое множество, содержащее 
т. е. множество всех конечных линейных комбинаций 
где 
Вещественная функция 
заданная на выпуклом множестве С, называется выпуклой, если
Функция 
называется вогнутой, если функция — 
выпуклая; функция 
называется аффинной, если она выпукла и вогнута одновременно. Если С является выпуклым открытым подмножеством 
то каждая выпуклая на С функция непрерывна.
