§ 1.2. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И АНСАМБЛИ

Этот параграф содержит обзор различных систем и ансамблей, с которыми нам придется иметь дело в дальнейшем. Изложение ведется формально, а вопрос о сходимости встречающихся здесь рядов и интегралов будет рассмотрен позднее.

1.2.1. Классические непрерывные системы.

Подсистемы, из которых состоит система, часто называют частицами. В непрерывных системах эти частицы движутся в -мерном пространстве (обычно Кроме того, они могут иметь вращательные и другие степени свободы. Система также может содержать частицы нескольких различных типов. Для простоты мы ограничимся здесь системами, состоящими из одинаковых частиц, обладающих только поступательными степенями свободы.

Рассмотрим классическую непрерывную систему, содержащую частиц, положение которых мы будем обозначать через а импульсы — через Мы предполагаем, что система описывается гамильтонианом вида

где — (полная) потенциальная энергия.

В статистической механике обычно предполагают, что система заключена в сосуд. Мы будем считать, что таким сосудом может служить ограниченная область Выражение (2.1) при этом следует дополнить требованием, чтобы при и условием, что частицы упруго отражаются от границы области .

(а) Классические непрерывные системы, микроканонический ансамбль. Среднее (1.4) называется микроканоническим средним. Для его существования необходимо аккуратно определить меру (1.1), однако эту трудность можно обойти, если заменить (1.1) одной из

следующих мер на фазовом пространстве

Здесь - характеристические функции интервалов соответственно. Так как возможны только макроскопические наблюдения системы, в принципе нельзя точно измерить величину ее полной энергии Е. Поэтому замена на эвристически оправдана. Замена на оправдана a posteriori тем фактом, что для больших систем ббльшая часть объема ансамбля (2.3) соответствует значениям близким к Е.

Вследствие специального вида гамильтониана Я (2.1) роль импульсов в равновесной статистической механике довольно тривиальна. (Это станет более очевидным в случае канонического ансамбля.) Поэтому имеет смысл ввести конфигурационный микроканонический ансамбль, определяемый мерой на конфигурационном пространстве системы По аналогии с (2.2) и (2.3) выберем в качестве меры выражение

или

(б) Классические непрерывные системы, канонический ансамбль, В каноническом ансамбле в отличие от микроканонического вместо энергии Е в качестве термодинамического параметра используется обратная температура Мера, определяющая канонический ансамбль, имеет вид

Это выражение является произведением кинетических множителей

для каждой частицы и конфигурационного множителя

который определяет конфигурационный канонический ансамбль.

(в) Классические непрерывные системы, большой канонический ансамбль. В микроканоническом и каноническом ансамблях число частиц фиксировано. В отличие от них большой канонический ансамбль задается мерой, определенной на сумме фазовых пространств взятой по всем значениям Вместо числа частиц в качестве термодинамического параметра выбирают химический потенциал На каждом пространстве ограничение меры, определяющей большой

канонический ансамбль, имеет вид

Конфигурационный большой канонический ансамбль определяется мерой на которая на каждом имеет вид

Нам удобно считать, что выражение (2.10) получено из (2.9) интегрированием по импульсам, так что

Параметр называется «активностью».