§ 2.5. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

Как мы увидим в третьей главе, изучение термодинамического предела для квантовых систем можно проводить параллельно с классическими системами. Для того чтобы сделать эту аналогию очевидной, нам понадобится предложение 2.5.1, доказываемое ниже. Кроме того, мы докажем несколько других неравенств для

квантовых систем, необходимых в различных частях этой книги. Эти неравенства читатель может изучить в удобной для него последовательности.

2.5.1. Предложение. (Принцип минимакса.)Пусть А — неограниченный самосопряженный оператор в Для каждого конечномерного подпространства М из области определения А положим

Пусть также для каждого целого

Тогда:

а) в том и только том случае, если оператор А ограничен снизу,

б) если при то спектр оператора А состоит из изолированных собственных значений конечной кратности,

в) если и если спектр А состоит из изолированных собственных значений конечной кратности, то числа и являются этими собственными значениями, занумерованными в порядке возрастания и повторенными в соответствии с их кратностью.

Справедливость (а) очевидна. Для доказательства (б) заметим, что если спектр не таков, как сказано, то можно найти последовательность подпространств М, таких, что ограничены.

Для доказательства (в) возьмем возрастающую последовательность собственных значений оператора А, повторенных соответственно их кратности, и семейство соответствующих этим значениям собственных векторов. Достаточно показать, что если то (очевидно, что При любом легко аппроксимировать М пространством М, таким, что и М содержится в подпространстве пространства являющемся линейной оболочкой векторов при достаточно большом Теперь

достаточно показать, что . Из соображений размерности можно видеть, что пространство М и пространство с базисом имеют общий вектор с нормой Поэтому

и предложение доказано.

2.5.2. Неравенство выпуклости. (О. Клейн.) Пусть А, В — самосопряженные (неограниченные) операторы со спектрами, лежащими в области определения выпуклой функции Тогда

Мы не останавливаемся более подробно на описании спектров операторов А, В и на том, какой смысл следует придать производной Доказательство формулы (5.3) просто, и его можно изложить для частного случая. Пусть — полные ортонормированные семейства собственных векторов операторов А и В, и пусть и — соответствующие семейства собственных значений. Положим тогда

откуда следует (5.3).

2.5.3. Предложение. Пусть А, В — положительно определенные, самосопряженные операторы, обладающие следом, тогда

Доказательство: положить в

2.5.4. Предложение. (Теорема Пайерлса.) Пусть А — самосопряженный (неограниченный) оператор

и ортонормированное семейство векторов в области его определения, тогда

Мы можем предположить, что семейство полно, т. е. является базисом. Пусть В — самосопряженный оператор с собственными векторами и соответствующими собственными значениями Подставляя А, В в (5.3), получаем

и, полагая получаем (5.6).

2.5.5. Предложение. Пусть — действительное пространство самосопряженных операторов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве тогда функция является выпуклой и возрастающей на

Используя (5.6), неравенство Гельдера и снова (5.6), получаем

откуда следует выпуклость. Используя снова (5.6), видим, что при выполняется неравенство

и доказательство окончено.

2.5.6. Предложение. Пусть а — матрица плотности (положительный оператор с единичным следом), действующая в и пусть частичные следы относительно пространств соответственно, так что матрицы плотности на тогда

Доказательство: положим в и используем равенство

2.5.7. Предложение. Функция а выпукла на выпуклом множестве матриц плотности.

Пусть Полагая или в формуле (5.5), получаем

2.5.8. Предложение. Пусть А, В — самосопряженные ограниченные операторы, обладающие ограниченными обратными, такие, что

тогда.

Пусть тогда из (5.9) следует, что значит откуда вытекает (5.10). Утверждение (б) следует из (а) и представления