Глава 1. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ. АНСАМБЛИ

Эта глава содержит обзор систем и ансамблей, которые используются в последующих главах монографии. Здесь обсуждаются понятия термодинамического поведения и термодинамического предела (предельного перехода к бесконечной системе).

§ 1.1. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Статистическая механика возникла из желания математически осмыслить класс физических систем, характеризуемых следующими свойствами:

(а) система представляет собой совокупность одинаковых подсистем;

(б) количество подсистем велико;

(в) взаимодействия между подсистемами таковы, что система проявляет термодинамическое поведение.

На сегодняшний день понятие «термодинамического поведения» является феноменологическим. Оно относится к макроскопическому описанию системы, представляющему собой идеализацию реальных наблюдений. Термодинамическое поведение обычно описывают так;

(а) Равновесные состояния конструктивно определимы. При неограниченном возрастании времени Состояние изолированной системы стремится к равновесному состоянию («приближение к равновесию»).

(б) Система в состоянии равновесия состоит из одной или нескольких макроскопически однородных частей (называемых фазами).

(в) Равновесные состояния можно описывать с помощью аппарата термодинамики. В частности, можно задать конечное число термодинамических параметров, определяющих все термодинамические функции. Принято считать, что термодинамические функции зависят от параметров кусочно аналитически или кусочно гладко, а их особенности соответствуют изменениям фазовой структуры системы (фазовым переходам).

г) «Коэффициенты переноса» можно определить, рассматривая реакцию системы на малые отклонения от равновесия в первом порядке теории возмущений.

Искусство теоретика состоит в том, чтобы отыскать математическое обоснование утверждений типа (а) — (г). Можно предвидеть (имея в виду наличие «большого» числа «малых» подсистем), что при этом придется рассматривать предельный переход к бесконечной системе — термодинамический предел. Наше понимание утверждений (а) — (г) пока еще крайне неполно, так как большая часть имеющихся исследований базируется на приближениях, которым не найдено достаточного обоснования. В этой книге мы сконцентрируем внимание на утверждениях (б) и (в), т. е. на равновесной теории. К сожалению, нашего понимания пункта (а) совершенно недостаточно для того, чтобы дать твердое обоснование понятию равновесия. Поэтому мы обратимся к некоторому специальному классу систем и привлечем эргодическую теорию.

Рассмотрим классическую теорему с гамильтонианом Н, не зависящим от времени, и фазовым пространством Эволюция во времени оставляет неизменной меру Лиувилля а также меру

для любого Е, по крайней мере в тех случаях, когда это выражение корректно определено. Для систем, которые мы будем рассматривать, мера (1.1) ограничена (т. е. имеет конечную общую массу). Пусть отображение описывает эволюцию во времени точки пространства Наблюдение системы в момент времени дает величину где — некоторая функция, определенная на Если система проявляет термодинамическое поведение, то практически не зависит от по крайней мере большую часть времени. Поэтому имеет смысл отождествить результат наблюдения функции «в равновесии» со средним по времени от Если мера (1.1) эргодическая, то, очевидно, это среднее для почти любого (относительно меры Лиувилля) начального условия будет иметь вид

где

Следовательно, если мера (1.1) эргодическая, то результат наблюдения функции имеет вид

Какой-нибудь вариант усреднения типа (1.4) необходим как отправная точка равновесной статистической механики. Поэтому много усилий затрачивается на то, чтобы исследовать вопрос об эргодичности меры (1.1) для различных частных систем. Это трудная проблема, и только недавно Синаю удалось доказать эргодичность некоторых систем с взаимодействиями реального типа. Историческая традиция придает большое значение обоснованию выражения (1.4) с помощью эргодической теории. Однако следует подчеркнуть, что более удовлетворительным был бы подход, опирающийся на тот факт, что мы имеем дело с большими системами. В частности, большая система может проявлять с физической точки зрения вполне нормальное термодинамическое поведение, не будучи, строго говоря, эргодической. Как бы то ни было, мы будем принимать с некоторыми поправками описание равновесия с помощью среднего (1.4), соответствующего мере (1.1). В физически интересных случаях это описание оказывается действительно адекватным.

Вместо выражения (1.1) можно пользоваться другими мерами, соответствующими широко известным ансамблям Гиббса. Принято считать, что в термодинамическом пределе, т. е. для большой системы, различные ансамбли приводят к эквивалентным описаниям этой системы. В доказательстве этого и заключается проблема эквивалентности ансамблей, разрешенная еще не полностью.

Равновесная статистическая механика не ограничивается изучением только классических систем, о которых говорилось выше. Соответствующим образом видоизменяя распределение (1.1), а также и другие ансамбли,

можно ввести в рассмотрение иные типы систем. Этот вопрос мы обсудим в последующих двух параграфах.