Вступительная статья редактора перевода

Геометрические идеи в теории поля

1. Континуальный интеграл и геометрия.

Основные величины в квантовой теории поля выражаются через континуальные интегралы Такой интеграл есть не столько объект, вводимый математическим определением, сколько иероглифическая запись целого круга физических и математических идей; запись эта расшифровывается в зависимости от контекста. Ее компоненты несут следующие значения: Ф — совокупность полей теории, А — оператор, построенный из этих полей; -функционал действия, чаще всего (где — лагранжиан), или аналогичный интеграл по суперпространству; — символ некоторой (возможно, в математическом смысле не существующей) меры на функциональном пространстве полей Ф, подчиненных тем или иным начальным, граничным или асимптотическим условиям.

В применении к реалистическим теориям наиболее последовательно проработана схема теории возмущений и диаграмм, позволяющая придавать смысл континуальным интегралам и вычислять их. В этой схеме Ф принято рассматривать как набор функций на пространстве-времени, снабженных тензорными, спинорными и внутренними индексами; последние преобразуются по некоторому представлению группы внутренних симметрий теории. Поскольку группы симметрий основных взаимодействий калибровочные, задание поля его «функциональными координатами» содержит избыточность, которую надо как-то учитывать, например закреплением калибровки. Кроме того, лагранжиан свободного неабелева калибровочного поля содержит самодействие, учет которого в формализме теории возмущений также калибровочно неинвариантен. В диаграммной технике возникают «духи» Фаддеева — Попова, неопределенности Грибова и пр. (см., например, [1]).

Постепенно распространяется трезвая точка зрения, состоящая в том, что в теориях всех взаимодействий (за исключением, возможно, чисто электромагнитного) классические поля Ф образуют сложное нелинейное функциональное пространство, и вычисление с помощью эвристических приемов квантовополевых

средних по нему должно идти по крайней мере рука об руку с углубленным изучением его геометрической структуры и классических нелинейных динамических уравнений. Есть несколько крупных проблем, где эта точка зрения уже стала влиятельной.

2. Сильные взаимодействия.

Первая и, может быть, самая актуальная задача — сильные взаимодействия и конфайнмент (удержание). Общепризнано, что правильной теорией является калибровочная теория Янга — Миллса с цветными полями глюонов и кварков. Ее трактовка по теории возмущений приводит к весьма правдоподобной картине асимптотической свободы на малых расстояниях. Но идея полноты асимптотических состояний рассеяния, заложенная в формализме теории возмущений в его привычном виде, перестает быть адекватной на адронных расстояниях из-за невылетания цвета. Именно для понимания этого невылетания разрабатывается сложная статистико-геометрическая картина сильных взаимодействий. В работах последних лет на первый план выдвигались различные аспекты ее геометрии: а) туннельные процессы, меняющие топологию вакуума (по цветовым степеням свободы), которые квазиклассически описываются евклидовыми полями с конечным действием, как инстантоны, или бесконечным, как мероны; б) картина глюонных струн, соединяющих кварки, где в качестве эффективных полей теории рассматриваются двумерные поверхности в пространстве-времени — мировые поверхности струны, с действием Намбу или его вариантами; в) идеология динамики петель и контурного интеграла Вильсона, призванная, в частности, вывести струнную картину из картины Янга — Миллса в фазе конфайнмента [54—57]. Во всех этих аспектах первостепенную роль играет, во-первых, зачастую весьма нетривиальная уже на уровне кинематики структура классических полей Ф, во-вторых, их классическая же динамика, описываемая вариационным уравнением Нетривиальное кинематики усугубляется топологическими (какова топология пространства контуров?) и размерностными -разложении с числом цветов характеристиками новых теорий. Они также заставляют по-новому взглянуть на старые проблемы квантованных полей. Например, какова роль перенормируемости, если мы вообще выходим за рамки теории возмущений? Нет ли какого-то особого смысла в том, что метод, которым т’Офт доказал перенормируемость теории Янга—Миллса с полями Хиггса, был методом размерной регуляризации? Все еще повторяемое студентам объяснение, что перенормируемость нужна для возможности расчетов, практически потеряло смысл. Это свойство превратилось в метатеоретический критерий отбора и оценки лагранжианов, как до него — требования симметрии.

3. Квантовая теория поля и гравитация.

Кроме всегда существовавшей внутренней потребности ввести гравитационное взаимодействие в «общий рынок» остальных трех взаимодействий появилось несколько стимулов попытаться сделать это уже сейчас. В теориях великого объединения было сделано интригующее наблюдение о схождении бегущих констант связи сильного и электрослабого взаимодействия в масштабе энергий ГэВ. Лишь четыре порядка отделяют этот масштаб от планковского, где становятся существенными эффекты гравитации в элементарных актах взаимодействия [11]. Теория квантового рождения частиц в сильных классических гравитационных полях (эффект Хокинга см. [2]) и ее возможные космологические следствия — другой повод возобновления интереса к этой фундаментальной задаче. Но уже классическая теория гравитации — общая теория относительности — является нелинейной геометрической теорией искривленных четырехмерных многообразий. Квантовые расчеты с таким ансамблем полей Ф не могут быть банальным квантованием малых колебаний.

4. Суперсимметрия.

Третья и последняя крупная проблема, связанная с геометрией, которой мы здесь коснемся, возникла со взрывным развитием суперсимметрии — супергравитации. Как известно, одной из исходных идей было обнаружение того, что имеется новая математическая структура — преобразования суперсимметрии, которые перемешивают бозонные и фермионные поля [8, 13]. В частности, имеется каноническое расширение группы Пуанкаре — супергруппа Пуанкаре, позволяющая строить свободные суперсимметричные теории по образцу классических, преодолев старые результаты о невозможности объединить пространственно-временные и внутренние степени свободы в одной группе симметрий. Наиболее консервативной линией развития здесь является конструкция суперсимметричных лагранжианов с последующим компонентным анализом для интерпретации суперполя как совокупности классических полей разных спинов. С этой точки зрения суперсимметрия выглядит формальным аппаратом для одновременного угадывания системы основных полей и их констант взаимодействий, связанных настолько жестко, что произволу вообще почти не остается места. В этой точке зрения отражена какая-то часть истины, ибо (при определенных оговорках) суперсимметрия действительно с необходимостью приводит к учету сразу нескольких взаимодействий (включая гравитационные), к постулированию целой совокупности фундаментальных полей и к такому набору констант связи, который влечет удивительное сокращение расходимостей иногда вплоть до трех петель. Другая сторона медали состоит в том, что при попытке прямолинейного отождествления компонент суперполей с привычными полями феноменологии частиц мы получаем одновременно и избыток полей,

и недостаток их; что феноменология требует понимания механизма нарушения суперсимметрии, который не так-то легко ввести, и наконец, что смысл сокращения расходимостей при явной неадекватности теории возмущений «около нуля» в столь сложной геометрии совершенно неясен. Субъективное мнение автора состоит в том, что идея суперсимметрии несет с собой действительно фундаментальное новое проникновение в природу спиновых и внутренних степеней свободы и их связь с пространственно-временными степенями свободы, но старые привычки интерпретации лагранжева формализма пока мешают увидеть все последствия этого.

5. Об этом сборнике.

Предлагаемый читателю сборник переводов призван дать — в первую очередь молодым физикам и молодым математикам — некоторое представление о задачах и аппарате, которые начали формироваться в квантовой теории поля в последние годы. В названии сборника поставлено слово «идеи», а не «методы»: мы хотели подчеркнуть этим, что эта область еще недостаточно созрела, чтобы можно было развивать практические методы решения реалистических задач, скажем теории частиц. Система ценностей, с которой теоретическая физика высоких энергий вошла в последнюю четверть века [11], отличается крайним романтизмом: обсуждаемые сейчас картины «великой пустыни» между 103 и 1015 ГэВ, пространственно-временной пены в планковских масштабах, или состояния мира через 10-40 с после Большого взрыва, были бы просто неприличны двадцать лет назад.

Первые две статьи сборника, принадлежащие С. Хокингу, излагают увлекательный проект теории квантовой гравитации, приводящий к картине квантовых флуктуаций топологии пространства-времени, при которых единица эйлеровой характеристики приходится в среднем на планковский объем. Интересно мнение Хокинга о роли евклидова режима в этой экстремальной ситуации, когда переход к нему определенно нельзя оправдать стандартной ссылкой на то, что какие-то вакуумные средние будут аналитическим продолжением функций Швингера. В самом деле, большинство искривленных пространств в ансамбле евклидовых гравитационных полей просто не имеют сечений с метрикой лоренцевой сигнатуры. С математической точки зрения эти две работы Хокинга содержат интересные статистические гипотезы о топологии этого ансамбля и указывают оригинальный путь к изучению многомерной броуновской геометрии.

В статьях Прасада и Гиббонса сделан обзор известных классических решений нелинейных уравнений Янга — Миллса и Эйнштейна, которые принадлежат к инстантонному типу. Заметим, что гравитационные инстантоны — это римановы многообразия, удовлетворяющие обычному уравнению Эйнштейна, а

не автодуальному. (Автодуальные комплексные пространства Эйнштейна ввел Пенроуз под названием «нелинейных гравитонов».) Инстантоны Янга — Миллса, напротив, автодуальны.

Остальные статьи сборника, составляющие несколько больше половины его объема, посвящены суперсимметрии и супергравитации. Из обширной, насчитывающей уже около тысячи работ журнальной литературы выбрано несколько статей разных жанров. Обзоры Феррары и Зумино дают общую ориентацию в истории, физическом смысле и перспективах. Статья Весса считается наиболее удачным первоначальным введением в формализм дифференциальной супергеометрии с выводом простейших уравнений супер-янг-миллсовского типа и анализом простой супергравитации. Наконец, еще три статьи имеют в значительной мере математический характер и посвящены прояснению роли кривизны, кручения, тождеств Бьянки и связей в формализме супергеометрии.

Контуры квантовых суперсимметричных теорий (включая супергравитацию) еще только намечаются. Высказываются надежды, что расширенная -супергравитация будет первой полной единой теорией. Но даже в этом случае список ее фундаментальных полей может иметь лишь непрямое отношение к спектру элементарных частиц, наблюдаемых при доступных энергиях. Поэтому существенно понимать способы увеличения списка частиц, считываемых с лагранжиана. Кроме обычных связанных состояний, голдстоуновских бозонов и фермионов, сюда относятся также частицеподобные решения («монополи») и включающие их связанные состояния. Это подчеркивает многообразную роль классических уравнений движения и в суперсимметрии.

Существенный прогресс в решении нелинейных уравнений теории поля в последние пятнадцать лет связан с методами обратной задачи теории рассеяния (в основном -мерные модели) а твисторного преобразования Пенроуза (автодуальные уравнения Янга—Миллса и Эйнштейна в размерности 4). Общей отправной точкой обоих методов является представление подлежащей изучению нелинейной системы в виде условий интегрируемости вспомогательной линейной системы. После этого свойства нелинейной задачи оказываются закодированными в свойствах соответствующей линейной задачи — ее данных рассеяния, матрице монодромии, либо расслоения горизонтальных сечений (последние в методе Уорда—Атьи). Поэтому заметный интерес представляет выявление того обстоятельства, что многие связи и динамические уравнения в суперсимметрии — супергравитации вводятся как условия интегрируемости или могут быть преобразованы к такому виду. Для ориентации математически настроенного читателя мы вкратце изложим одну геометрическую схему, которая может служить общим

исходным пунктом и для твисторной, и для суперсимметрийной картин.

6. Обобщенные конформные структуры и связности.

Следующая геометрическая структура лежит в основе ряда геометрических конструкций в теории поля. Она служит одновременно для порождения динамических уравнений и связей в суперсимметрии и для конструкции их решений, точнее, редукции этой задачи к построению голоморфных расслоений на многообразиях и супермногообразиях или к задачам деформации в стиле Пенроуза [5, 6]. Эта схема включает следующие понятия.

а. Пусть М — некоторое многообразие или супермногообразие размерности мы будем писать также если — число коммутирующих, а — антикоммутирующих координат. Например, в обычной теории Эйнштейна а в расширенной супергравитации Пусть — некоторая размерность, меньшая чем Назовем -конформной структурой на М задание в каждой точке М некоторого многообразия -мерных касательных подпространств М в этой точке. Пусть супермногообразие таких подпространств, я: — его естественная проекция на М.

б. Если на М задана -конформная структура, то -связностью на ней называется -мерное распределение на т. е. задание такого семейства -мерных касательных пространств к что проекция с помощью такого пространства из точки у на в точку х на М совпадает с пространством, которое представлено точкой у.

в. Понятие -связности на конформной структуре не совпадает с известными определениями, скажем аффинной связности. Можно доказать, что тем не менее при естественных условиях -связность можно описывать коэффициентами , С — суперпространственные индексы), которые, однако, подчинены разнообразным условиям симметрии, обращения в нуль определенных компонент и т. п. Эти условия систематически выводятся из геометрических свойств Связи в супергравитации (по крайней мере часть их) можно сформулировать как условия интегрируемости одной или нескольких -связностей, заданных на суперпространстве М.

г. Важные классы -связностей возникают при искривлении «плоских» -связностей. Чтобы ввести это последнее понятие, рассмотрим супергруппу Ли и три ее подгруппы причем содержится в Положим далее и используем слои естественной проекции для задания одновременно -структуры на М и интегрируемой -связности на ней, где — размерность (Чтобы это можно было сделать, нужно, чтобы эти слои имели нуль-мерное пересечение со слоями проекции : точнее, чтобы

отображение было замкнутым вложением супермногообразий.)

Искривлением плоской -конформной структуры называется такое отображение которое в каждой точке устроено так же, как соответствующее плоское.

Пусть, например, выберем в пространстве Т фундаментального представления изотропный -флаг, т. е. нулевой луч, содержащийся в нулевой плоскости. Обозначим через малые группы луча, плоскости и всего флага соответственно. Здесь и наша -конформная структура на квадрике есть обыкновенная конформная метрика, заданная конусами нулевых направлений в каждой точке. Искривлением плоской -конформной структуры будет обычная конформная структура.

Заметим, что при нетривиальных условий интегрируемости нет. При в комплексном пространстве-времени с конформной структурой можно, однако, определить две разные 2-конформные структуры и связности, отвечающие двум системам нулевых плоскостей в касательном пространстве каждой точки. Интегрируемость 2-связности, отвечающей любой из них, есть условие автодуальности (или антиавтодуальности) конформной метрики, определяющее нелинейные гравитоны Пенроуза.

Опишем более детально несколько основных примеров. Для краткости будем работать лишь с комплексными группами. Чтобы получить вещественные пространства с метрикой лоренцевой или евклидовой сигнатуры, следует перейти к их вещественным формам.

7. Твисторное преобразование: автодуальный случай.

Положим — пространство фундаментального представления — грасманиан двумерных подпространств в — пространство -флагов в Т. Здесь Т — твисторное пространство Пенроуза, М — компактная комплексная модель пространства Минковского; она содержит одновременно вещественное пространство Минковского, пополненное бесконечно удаленным световым конусом, и евклидово сечение пополненное бесконечно удаленной точкой. Обычная конформная структура на М определяется тем, что М допускает вложение в виде квадрики Плюккера в (-пространстве бивекторов Т. Плоская 2-конформная структура определяется проекцией здесь — проективное твисторное пространство.

Искривленная 2-конформная структура с интегрируемой

2-конформной связностью на многообразии М— это геометрическое описание комплексного решения уравнений Эйнштейна с космологической константой и антиавтодуальным тензором Вейля. Соответствующие кривые твисторные пространства

можно строить как деформации областей, заметаемых комплексными прямыми,

Помимо проблематичной роли таких пространств в качестве квантовых нелинейных гравитонов имеется весьма интересная и нетривиальная их интерпретация в общей теории относительности, где они возникают как - пространства [26, 27], связанные с гравитирующей нестационарной изолированной системой. Известно, что при наличии выходящего гравитационного излучения соответствующее пространство хотя и является асимптотически плоским, но его кривизна вдоль нулевых направлений будущего спадает слишком медленно, чтобы можно было определить асимптотическую группу Пуанкаре. Вместо этого можно попытаться охарактеризовать асимптотическое поведение гравитационного поля системой «хороших сечений» комплексифицированной будущей нуль-бесконечности . В плоском случае это просто сечения бесконечно удаленного светового конуса конусами конечных точек, так что пространство таких сечений есть пространство Минковского. В асимптотически плоском случае эти сечения характеризуются обращением в нуль асимптотического комплексного шира и их система представляет собой комплексное автодуальное -пространство.

Большей популярностью пользуются евклидовы автодуальные поля Янга—Миллса на в частности два их класса, различающиеся асимптотическими условиями, — инстантоны и мо-нополи. Их описание и обсуждение физического смысла можно найти в статье 3 этого сборника, принадлежащей Прасаду. Уравнение автодуальности равносильно интегрируемости связности вдоль одной из двух систем нулевых поверхностей в комплексификации и любое его решение кодируется по Атье и Уорду голоморфным векторным расслоением над пространством нулевых поверхностей в которое является некоторой областью в в частности всем для инстантонов и для монополей. Слоем этого расслоения является пространство горизонтальных сечений векторного расслоения, на котором А является связностью.

К моменту, когда был написан обзор Прасада, конструкция всех таких расслоений была проведена алгебро-геометрическими средствами для инстантонов, но для монополей с произвольным топологическим зарядом эта задача оставалась открытой. В самое последнее время в ней произошел решительный сдвиг (см. работы [15—18]). Особенно прояснила структуру -монополей работа Н. Хитчина [17]. Оказалось, что анзац Атьи — Уорда (см. статью Прасада), не давший удачных результатов в теории инстантонов, очень хорошо приспособлен для монополей. Дело в том, что настоящим геометрическим параметром в таком анзаце является некоторая алгебраическая кривая в Для удовлетворения инстантонных граничных условий эти

крнвые нужно выбирать очень специальным образом, и этот выбор крайне неоднозначен. Напротив, любому монопольному решению уравнения автодуальности такая кривая отвечает вполне однозначно. Именно, фиксируем пространственное сечение и рассмотрим многообразие ориентированных прямых в нем. Параметризуя прямую ее направлением и вектором расстояния до начала, мы без труда обнаруживаем, что это многообразие есть комплексная алгебраическая поверхность — касательное расслоение к Теперь рассмотрим вдоль каждой прямой связность, отвечающую данному монополю, и построим множество тех прямых, над которыми эта связность допускает горизонтальное сечение, интегрируемое с квадратом. Оно является алгебраической кривой, и соответствующий анзац Атьи — Уорда дает исходный монополь. В работе Нама [18] к задаче конструкции монополей для любой простой компактной группы применяется техника, успешно использованная в теории инстантонов.

8. Твисторное преобразование: неавтодуальный случай.

Здесь по-прежнему . На М эта структура является -конформной, что не приводит ни к каким уравнениям типа гравитации. Преобразование Пенроуза можно провести над любым полем Янга — Миллса и получить голоморфное расслоение над областью в Способ закодировать вакуумные уравнения Янга—Миллса в терминах расслоения был предложен независимо в работах Айзенберга, Грина, Ясскина (см. [5]) и Виттена [22]: выполнимость этих уравнений равносильна возможности продолжить на третью инфинитезимальную окрестность Развитие этой идеи привело к установлению того, что динамические уравнения полного лагранжиана Янга — Миллса с массивными фермионами и полями Хиггса допускают аналогичное перекодирование [20]. Недавно эту технику удалось использовать для конструкции новых точных решений классических уравнений.

В работе Виттена [22] содержится также предложение использовать аналогичное суперсимметричное преобразование. В рамках нашей конструкции это выглядит так.

9. Суперсимметричные d-конформные структуры.

По-прежнему ограничиваясь комплексными супергруппами, рассмотрим два способа вводить фермионные координаты на пространствах предыдущего пункта: они отвечают группам (в обозначениях работы [46] последняя группа есть группа симметрий нечетной антисимметричной формы на

Первому способу отвечает пространство суперфлагов

В силу этой реализации на М есть несколько интересных -конформных структур. Для первой из них

здесь Нулевые геодезические приобретают дополнительных фермионных измерений, в силу чего условия интегрируемости вдоль них перестают быть тривиальными и при в существенном совпадают с суперсимметричными уравнениями Янга — Миллса на М. Обычные вакуумные уравнения Янга — Миллса являются редукциями этой большой системы, отвечающей нулевым значениям всех лишних компонент суперполя. На языке пространства нулевых супергеодезических это отвечает тому, что допускает проекцию на третью инфинитезимальную окрестность

Еще одна -конформная структура на М получается с использованием двух проекций: Размерность слоев этих проекций равна таким образом, в каждой точке М заданы два -мер-ных касательных пространства. При интегрируемое искривление этой структуры локально равносильно реализации М в качестве кривого вложения в т. е. заданию препотенциала по Огиевецкому — Сокачеву [28—31] и Зигелю — Гэйтсу. Дополнительное условие интегрируемости нулевых супергеодезических, т. е. -конформной структуры, производной от исходной, ведет к условиям на связь которых с динамическими уравнениями -супергравитации еще подлежит исследованию.

Интегрируемость суперполя Янга — Миллса вдоль этой -структуры равносильна положению связей

Использование группы в качестве основной группы суперсимметрии приводит к (пространство изотропных -плоскостей в супервекторном пространстве с нечетной антисимметричной формой) и к -конформной структуре на М, отвечающей Можно надеяться, что ее будет легче применить к изучению обычного вакуумного уравнения Янга — Миллса, поскольку геометрия здесь обладает значительным сходством с геометрией автодуальной (несуперсимметричной) ситуации. В применении к самому пространству-времени М эта структура обладает необычными свойствами, поскольку ее нечетные координаты с точки зрения предъявлений группы Лоренца являются бозонами: они образуют -триплет и -синглет. Для введения полуцелых спинов следует использовать суперспинорное расслоение, которое здесь имеет размерность 212: нарушение пространственной четности сказывается в том, что обычные левые и правые спиноры входят в это объединенное расслоение с противоположной «внутренней» четностью. Конечно, можно написать соответствующее суперсимметричное уравнение Дирака и т. Искривление этой картины приводит к экзотической модели супергравитации с нарушенной пространственной четностью.

10. О списке литературы.

Предлагаемый список литературы для дальнейшего чтения не претендует на полноту ни по какому критерию. Преимущественно отбирались работы последних лет, обзорные, учебные, содержащие свежие результаты или идеи, которые могут оказаться важными. Список разбит на группы, соотносимые с тематикой этой книги, которая в какой-то мере продолжает линию, начатую в книгах [1,2].

Раздел «Сборники и обзоры» не нуждается в комментариях. В статьях, использующих твисторную технику, представлены следующие темы. В работах [15—18], как уже упоминалось, достигнут существенный прогресс в описании монополей с любым зарядом алгебро-геометрическими средствами. Статьи [19—22] посвящены развитию твисторной техники в разных направлениях — выяснению ее применимости к более общим, чем автодуальность, уравнениям, когомологическим аспектам. Работы [14, 26, 27] посвящены автодуальным пространствам Эйнштейна. В статьях [23—25] поставлена и значительно продвинута задача вычисления однопетлевых поправок на инстантонном фоне.

Работы [28—31] содержат систематическое изложение - супергравитации в наиболее удачной, как сейчас представляется, геометрической форме. В работах [36—41] можно найти описание других подходов. В статьях [32] и [33] предлагаются попытки интерпретации следствий из суперсимметрии при доступных сейчас энергиях; статьи [34, 35] посвящены диаграммной технике. Эти работы лишь небольшое добавление к сотням работ по суперсимметрии и супергравитации, цитированным в сборниках и обзорах [3, 4, 8], к которым должен обратиться читатель, чтобы представить себе характер активности в этой области по 1980 г. Математических работ по супердифференциальной геометрии пока немного; статьи [42—48] образуют вполне представительную выборку и могут быть использованы в качестве начальных учебных руководств.

Последние ссылки в списке отсылают к работам по вкратце упомянутым, но не представленным в сборнике темам. В работах [49—53] изложено решение старой проблемы положительности энергии изолированной системы в По статьям [54—57] можно познакомиться с динамикой петель.

Я глубоко признателен Л. Б. Окуню и В. И. Огиевецкому за внимание, уделенное этой книге и мне. Первый решил, что такой сборник должен быть издан, и преодолел слабое сопротивление его будущего редактора, а второй фактически отобрал статьи 5-11. Конечно, ответственность за все недостатки издания лежит на мне. Труднее всего предотвратить быстрое старение сборника журнальных статей. Геометрия служит некоторым консервантом для скоропортящейся физики. Математику приятно

сознавать, что геометрические идеи Римана, Эйнштейна, Германа Вейля и Эли Картана по-прежнему работают в фундаментальной физике.

Ю. И. Манин

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)