В. Расширенная суперсимметрия и супергравитация в четырех измерениях

а. Представления расширенной суперсимметрии

Построим сначала безмассовые представления алгебры простой суперсимметрии в измерениях:

где — майорановские генераторы. Мы будем использовать следующее представление у матриц:

построенное так, что

В этом случае разложение произвольного спинора на лево- и правосторонние части (точечные и бесточечные индексы) имеет форму

и алгебра приобретает вид

где

В этом представлении и майорановский спинор удовлетворяет условию

или

Это уравнение связывает точечные и бесточечные индексы

Алгебра может быть записана в окончательном виде

Отметим, что в играют роль операторов уничтожения, а — операторов рождения.

В случае нулевой массы можно выбрать систему отсчета, в которой , поскольку

мы получаем

Оператор рождает состояния с нулевой нормой, и его не следует учитывать при подсчете физических состояний, имеющих положительную норму. Поэтому нам нужен один оператор рождения . В выбранной системе отсчета оператор спиральности равен Используя соотношение и явное представление -матриц, легко получить

Следовательно, переводит состояние со спиральностью X, определяемое уравнением в состояние со спиральностью Итак, безмассовое неприводимое представление суперсимметрии содержит два состояния макс) со спиральностями Ямакс, Чтобы это представление имело реализацию на полях, необходимо еще добавить к нему СРТ-сопряженные состояния со спиральностями

Таким образом мы получаем хорошо известные мультиплеты -суперсимметрии

В случае расширенной суперсимметрии имеется следующая алгебра, Обозначим через Тк генераторы группы внутренней симметрии и введем вместо одного майорановских спиноров,

образующих спинорное представление группы Алгебра расширенной суперсимметрии имеет вид

являются центральными зарядами, т. е. они коммутируют со всеми генераторами алгебры. Для массивных представлений группа не фиксирована, однако в безмассовом случае Хааг, Лопушанский и Сониус [35] показали, что с необходимостью за исключением случая в котором возможно как так и . В безмассовом случае центральные заряды имеющие размерность массы, равны нулю, и не составляет труда найти содержание представления расширенной суперсимметрии ранга Каждый из операторов рождает состояния с положительной нормой и уменьшает спиральность на 1/2, поэтому безмассовый неприводимый мультиплет содержит спиральности

Итак, мы видим, что мультиплеты полей материи, содержащие только спины 0 и 1/2, существуют лишь до включительно. Калибровочные мультиплеты с существуют до включительно, наконец, теории супергравитации существуют до включительно.

Действуя операторами на состояние с максимальной спиральностью , мы получаем все состояния неприводимого мультиплета. Так, имеется состояний вида со спиральностями Представление является самосопряженным, если , т. е. Если же оно не самосопряжено, то к нему следует добавить СРТ-сопряженные состояния вида . Рассмотрим для примера суперсимметричные теории Янга — Миллса:

(см. скан)

Отсюда видно, что имеются всего три существенно разных типа калибровочных теорий, поскольку случаи имеют одно и то же число полей. Все эти теории построены в явном виде и могут быть получены размерной редукцией из 10- и 6-мерных теорий [16, 17].

Аналогичная таблица для теорий супергравитации (Ямакс имеет следующий вид:

(см. скан)

Итак, имеется 7 существенно разных теорий супергравитации, поскольку состав -теорий идентичен. Все эти теории могут быть построены в явно -инвариантном виде.

Поля, соответствующие этим состояниям, однозначно фиксируются включительно:

При возникает некий произвол, связанный с тем, что Существуют по крайней мере две теории.

-теория [5-7] содержит поля (скаляр), В (псевдоскаляр). SU(4)-теория [8] содержит поля (векторы), (псевдовекторы), (скаляр), В (псевдоскаляр),

В существовании второй теории можно убедиться с помощью следующей цепочки редукции.

Начнем с простой -мерной супергравитации Редуцируя ее до мы получаем расширенную -супергравитацию с полями — майорана-вейлевские спиноры). Эту теорию можно редуцировать до простой супергравитации в измерениях с полями Редукция последней теории до (аналогичная редукции -мерной теории Янга — Миллса) привела бы к расширенной -супергравитации в 4 измерениях, взаимодействующей с -векторными мультиплетами указанного выше вида. Эта теория должна обладать явной -инвариантностью.

Обе обсуждаемые теории известны во всех деталях и фактически эквивалентны [8] до тех пор, пока группа не становится локальной. В этом случае они неэквивалентны [36].

Для случая простейший набор полей, совместный с -инвариантностью, имеет вид [9]

где и скобки означают антисимметризацию по всем индексам. А и В являются соответственно автодуальными и антиавтодуальными по индексам внутренней симметрии полями и представляют по 35 степеней свободы каждое. Эта теория пока известна лишь до порядка включительно, но можно надеяться на построение точной теории размерной редукцией -мерной супер гравитации [49].

При построении этих теорий без применения тензорного исчисления [37] для и суперполевых методов [38] (с помощью которых, однако, удалось воспроизвести случаи также теоретико-групповых методов [39] (с их помощью воспроизведены случаи действие и законы преобразования в расширенных супергравитациях были найдены шаг за шагом по степеням и — корень квадратный из ньютоновской константы):

где — кинетический член полей теории, ковариантизованный подходящим образом относительно локальных лоренцевых и общекоординатных преобразований.

Например, для -супергравитации

и задача состоит в нахождении и выражения для законов преобразования, которые в низшем порядке по х имеют вид

К счастью, возможный вид неизвестных членов в действии сильно ограничен соображениями размерности и инвариантности [40]. Например, векторные поля появляются только в виде и поскольку лагранжиан содержит не более двух производных. Ферми-поля появляются только в четных степенях, и фактически необходимы члены не выше четвертой степени. Интересно, что этот результат справедлив в пространстве-времени любого числа измерений. В D измерениях х имеет размерность (в единицах массы). Поля гравитино имеют размерность Рассмотрим рассеяние гравитино, обменивающихся в древесном приближении гравитоном, так что амплитуда рассеяния пропорциональна Вследствие калибровочной инвариантности -матрица в древесном приближении должна быть инвариантна относительно замены (здесь — тензор поляризации гравитино; — импульс гравитино; а — произвольный спинор). Если это не так, то в действие следует добавить контактный член вида Размерность равна но, с другой стороны, должна быть пропорциональна Таким образом,

или

Из этого уравнения выпала размерность пространства-времени, оно имеет единственное нетривиальное решение Итак, члены четвертого порядка допустимы (и возникают) в действии, в то время как члены вида запрещены. Аналогичный анализ применим к спинорным полям имеющим ту же размерность, что и , следовательно, входящим в лагранжиан в степени не выше четвертой. Отсюда следует, что расширенные супергравитации при могут быть построены за конечное число шагов. С другой стороны, скалярные поля, появляющиеся при приводят к серьезной трудности, поскольку выражение где А — скалярное поле, безразмерно и, следовательно, в действии и законах преобразований допустимы неполиномиальные функции скалярных полей, разлагаемые в бесконечные ряды по Эту трудность можно обойти, вводя в действие и законы преобразований произвольные функции скалярных полей. Требование инвариантности действия относительно

суперсимметрии приводит к системе дифференциальных уравнений для этих функций. Такая процедура на практике довольно трудна, поскольку она включает большое число неизвестных функций, а выписывание и решение системы уравнений является довольно громоздкой и сложной задачей. К счастью, можно найти упрощающие приемы, которые уменьшают число неизвестных функций.

Таким приемом является, например, сведение к уже известным теориям. Очевидно, что -супергравитация содержит как частный случай -теорию. Например, -теория содержит после самосогласованной редукции (при которой поля, приравненные нулю, имеют нулевую вариацию) мультиплет (2, 3/2) простой супергравитации, взаимодействующий с мультиплетом Максвелла (1, 1/2) [41]. Этот факт был использован при конструировании -супергравитации [4]. Аналогично -теории содержат как частный случай простую супергравитацию, взаимодействующую со скалярным мультиплетом . В простой супергравитации такое взаимодействие определяется произвольной функцией которая фиксируется требованием инвариантности относи тельно или -суперсимметрии. Например, в 0(4)-теории [7] мы обнаруживаем, что кинетический член полей А и В действительно неполиномиален:

Здесь несколько обескураживает ограничение области определения полей А и В:

Другие полезные приемы конструирования расширенных супергравитаций рассматриваются в последующих разделах. Это алгебра расширенной суперсимметрии, простота уравнений движения для фермионов и глобальная -инвариантность обсуждаемых теорий.