2. Предварительные математические сведения

Цель этого раздела — ввести условные обозначения и дать математические формулы, которые мы будем использовать в наших вычислениях.

Рассмотрим М-мерное пространство с координатами (индекс принимает значения ).

Метрика этого пространства задается символом Кронекера где

так что между контравариантными и ковариантными индексами нет различия: . В частности, скалярное произведение любых двух М-векторов и имеет вид

где мы, как и всюду ниже, пользуемся эйнштейновским правилом суммирования по повторяющимся дважды индексам.

Полностью антисимметричный постоянный тензор в М-мерном пространстве определим как

Для тензора справедливо следующее тождество:

где обозначает определитель. Таким образом, определитель матрицы порядка М есть

След матрицы равен

Матрицу с нулевым следом будем называть бесследовой. Для любых двух матриц А и В имеем

Эрмитово сопряженную и обратную матрицы для матрицы А будем обозначать соответственно. Матрица является эрмитовой, если она является антиэрмитовой, если и унитарной, если

Дифференцирование по х будем обозначать символом так что

Для матрицы, зависящей от имеем тождество

Для любых двух матриц Л и В определим их коммутатор

Имеет место простое тождество

где — единичная матрица Для доказательства (2.11) заметим, что

Центральную роль в понимании топологии калибровочных полей для нас будет играть теорема Гаусса (о дивергенции) для интегралов в М-мерном пространстве. Пусть — область М-мерного пространства и -мерное подмножество, которое является границей Точкам М-мерного пространства можно сопоставить М параметров . Координаты в этом пространстве задаются параметрически уравнениями

Зададим элемент «площади» следующим образом:

где Теперь теорема Гаусса может быть записана в следующем виде:

где

Полезно напомнить, что элементы объема в трех- и четырехмерных пространствах равны соответственно

где

где , а телесные углы в случая равны