7. Явное монопольное решение для q = 1

Для монополей калибровочные поля являются статическими, и для принимается анзац

где — пока произвольные функции Анзац (7.1) может быть мотивирован асимптотической (при формой равенств (5.11) и (5.12). Тензорные индексы строятся исходя из координат только -мерного евклидова пространства , так что нет специального направления, т. е. имеет место своего рода «сферическая симметрия».

Исходя из анзаца (7.1), мы вычисляем векторные поля и , определенные в равенствах (5.2) и (5.1):

где для любой функции мы полагаем Таким образом, статические уравнения автодуальности принимают вид

Решая уравнение (7.4) относительно и подставляя решение в уравнение (7.5), получаем

Уравнение (7.6) легко проинтегрировать, что дает

где — постоянные интегрирования, причем С мы берем положительной.

Потребуем теперь, чтобы и были конечны (не сингулярны) во всем -мерном евклидовом пространстве. Это вынуждает нас взять и знак минус в первом равенстве (7.7). Таким образом, калибровочные потенциалы

являются конечными несингулярными решениями статических уравнений автодуальности

Используя равенства (5.5), (5.6) и (5.1), легко проверить, что

Следовательно, функционал энергии, связанный с калибровочными потенциалами (7.8) и (7.9), имеет вид

Так как подынтегральное выражение в (7.11) не имеет особенностей, для нахождения энергии можно использовать теорему Гаусса

Сравнивая это выражение с (5.19), видим, что мы действительно имеем явную реализацию монопольного решения для

В настоящее время почти ничего не известно о явных монопольных решениях для Методы алгебраической геометрии, которые привели к конструкции АДХМ в случае инстан-тонов, по-видимому, здесь неприменимы. В следующем разделе мы описываем попытки использовать преобразования Бэклунда, которые дают некоторые сведения, но к конкретному решению рассматриваемой проблемы не приводят.