2. Топология

Существуют 2 топологических инварианта, представимые в виде интегралов от кривизны положительно определенной метрики на 4-мерном ориентируемом компактном многообразии: эйлерова характеристика

и сигнатура

Эйлерова характеристика равна альтернированной сумме чисел Бетти

Число Бетти число Бетти) равно числу независимых гармонических -форм. Независимые гармонические 2-формы (их число равно можно подразделить на В автодуальных и антиавтодуальных 2-форм. Сигнатура х равна Кроме того, сигнатура равна где — числа решений безмассового уравнения Дирака с правой и левой спиральностью соответственно. Так как — всегда целые четные числа, то многообразие допускает спинорную структуру только в том случае, если сигнатура кратна 16 (необходимое, но не достаточное условие). Достаточное условие состоит в том, что число самопересечений любого 2-цикла должно быть четным. Число самопересечений 2-цикла — это число пересечений 2-цикла со слегка смещенной копией самого себя. Точка пересечения учитывается с положительной кратностью если ориентация в касательном пространстве точки пересечения

согласуется с ориентацией, задаваемой индуцированными ориентациями касательных плоскостей к двум 2-поверхностям.

Для компактного многообразия Если многообразие односвязно, то Мне не ясно, нужно ли рассматривать в квантовой теории гравитации неодносвязные многообразия. Имеются следующие аргументы в пользу того, что этого не нужно делать.

Топологии компактных неодносвязных 4-мерных многообразий невозможно классифицировать, т. е. не существует алгоритма, который позволял бы решать, гомеоморфны ли два таких многообразия. Это утверждение следует из того, что любая конечно порожденная группа может быть фундаментальной группой некоторого компактного 4-мерного многообразия М [10]. Доказано [11], что такие группы не поддаются классификации. Ситуация становится более благоприятной, если ограничиться рассмотрением односвязных компактных 4-мерных многообразий. Действительно, если и многообразие допускает спинорную структуру, то их характеризуют многообразие с точностью до гомотопии [12] (два многообразия М и называются гомотопными, если существуют отображения и такие, что композиции гомотопичны тождественным отображениям на и М соответственно). Позволяют ли классифицировать многообразия с точностью до гомеоморфизмов, пока не ясно, но ни контрпримеров, ни доказательства неразрешимости найти не удалось. Не решен и вопрос о том, позволяет ли эйлерова характеристика классифицировать гомотопический тип многообразия при

Утверждение о необходимости исключить из рассмотрения неодносвязные многообразия только потому, что их невозможно классифицировать, несколько напоминает анекдот о человеке, который искал ключи под фонарным столбом только потому, что там светло и он мог бы их разглядеть. В действительности «классифицируемость» многообразий вряд ли столь существенна, поскольку слишком сложные топологии, вероятно, нужно изучать не точно, а на той или иной статистической основе. Имея неодносвязное многообразие, мы можем «развернуть» его и перейти к односвязному универсальному накрывающему многообразию. При оно будет некомпактным, но его всегда можно замкнуть или компактифицировать при каком-то большом объеме, лишь незначительно изменив действие на единицу объема. Именно поэтому в большинстве случаев я рассматриваю односвязные многообразия с равным рангу т. е. числу гомотопически неэквивалентных отображений 2-сфер в М. В каждом гомотопическом классе найдется гладко погруженная 2-сфера с минимальной поверхностью, но эта 2-сфера может самопересекаться. Такие минимальные сферы во многом аналогичны 2-сферам горизонта черных дыр

с евклидовыми метриками. Вблизи минимальной 2-поверхностя функция Грина периодична по мнимой координате времени, относительно которой метрика почти стационарна. Вдали от минимальной 2-поверхности метрика утрачивает стационарность, и координаты, задаваемые различными минимальными 2-поверхностями, не согласуются между собой. Это приводит к картине пространства-времени, напоминающей «газ» из черных дыр или гравитационных инстантонов.