2. Супергравитация из первых принципов

Совершенно независимо от программы унификации были приведены и другие доводы в пользу введения супергравитации в физику частиц.

Во-первых, чтобы сделать суперсимметрию локально инвариантной. Это требует одновременно инвариантности относительно общекоординатных преобразований. Локализация суперсимметрии приводит к одному и тому же действию независимо от частного вида использованной математической структуры

Если обобщать калибровочную инвариантность свободного безмассового поля Рариты — Швингера на случай взаимодействия, то супергравитация возникает как единственная возможность непротиворечивого взаимодействия этого поля с остальными полями, преодолевая тем самым старые трудности взаимодействующих полей с высшими спинами [11].

В супергравитации впервые реализуется идея о том, что фермионные поля, обычно ассоциируемые с материей, могут быть истинно калибровочными полями. Это приводит к тонкой взаимосвязи между геометрией пространства-времени и квантовомеханическим понятием спина.

Одной из причин создания супергравитации можно считать попытки построения осмысленной квантовой теории гравитации. Вклады суперсимметричных партнеров гравитона приводят к весьма эффектному улучшению ультрафиолетового поведения по сравнению с эйнштейновской теорией [12]. Предел наших желаний состоит в том, что некоторые варианты супергравитации (в настоящий момент предпочтение отдается максимально расширенной теории с приведут к конечной квантовой теории гравитации.

Супергравитация естественным образом оправдывает необходимость квантования гравитации [14]. Действительно, если есть преобразования симметрии, смешивающие метрический тензор с полями других частиц, было бы крайне неразумно квантовать все поля, за исключением метрического тензора. Например,

в простейшей теории супергравитации уже сам факт квантования поля Рариты — Швингера предполагает, что метрический тензор также должен быть квантован.

Имеется несколько изящных формулировок основной теории супергравитации (N = 1) [5, 6]. В формализме первого порядка супергравитацию можно рассматривать как теорию Эйнштейна — Картана для безмассовой частицы спина 3/2 с неминимальной заменой в лагранжиане Рариты — Швингера [6]. Эта замена неминимальна в том смысле, что не является ковариантной производной, действующей на поле со спином 3/2, а отличается от нее на члены, связанные с кручением, которые необходимы для сохранения калибровочной инвариантности поля Рариты — Швингера. Супергравитация была также построена как калибровочная теория супергрупп Пуанкаре [15] или де Ситтера [16] в пространстве-времени без кручения. Более простой вывод супергравитации требует соответственно более изощренных методов [17, 18]. Один из них основан на понятии суперпространства которое является фактор-пространством супергруппы Пуанкаре по группе Лоренца. В суперпространстве мультиплеты полей описываются одним объектом — суперполем. Несмотря на эти значительные технические усовершенствования, мы хотели бы привести здесь такой вывод супер гравитации, который не требует знания дифференциальной геометрии и теории групп и основан на некоторых очень простых физических рассуждениях. Из теории представлений глобальной суперсимметрии известно, что безмассовая (майоранова) частица со спиральностью может образовывать супермультиплет с бозоном спиральности ±2 или ±1. В теории свободных полей оба выбора совершенно равноценны. Первый выбор приводит к мультиплету супергравитации со свободным лагранжианом

Здесь — линеаризованный эйнштейновский лагранжиан с Лагранжиан раздельно инвариантен относительно двух абелевых калибровочных преобразований

и глобального преобразования суперсимметрии

Альтернативный выбор приводит к мультиплету со свободным лагранжианом

Лагранжиан раздельно инвариантен относительно двух абелевых калибровочных преобразований

и глобального преобразования суперсимметрии

Разница между соответствующими двум возможным способам включения гравитино в супермультиплет, возникает при попытке обобщить теории, описываемые (4) и (7), на случай полной нелинейной теории. Если т. е. преобразование суперсимметрии локально, то в лагранжиан необходимо ввести новый член имеющий вид произведения поля на ток (и — гравитационная константа связи), причем Это не что иное, как нетерова связь. Но известно, что при суперпреобразовании спин-векторный ток суперсимметрии переходит в тензор энергии-импульса системы Следовательно, связь с необходимостью сопровождается выражением поэтому анзац (4) является единственно возможным. Окончательная теория, построенная процедурой последовательных приближений по степеням к, приводит к следующему лагранжиану супергравитации:

где тетрада. Лагранжиан инвариантен относительно следующих (неабелевых) калибровочных преобразований с

где — обычная ковариантная производная со связностью Кристоффеля. Таким образом, на свободном уровне есть два независимых абелевых преобразования (5) и глобальное (неабелево) преобразование суперсимметрии (6). На взаимодействующем уровне (10) они становятся единым неабелевым

калибровочным преобразованием (11). Заметим, что закон члены кручения) имеет такую же форму, что и закон калибровочного преобразования янг-миллсовского потенциала Единственное отличие состоит в том, что в супергравитации спиновая связность является нелинейной функцией полей. Наконец, существует весьма изящный вывод [22] лагранжиана супергравитации (10), который не требует даже знания преобразований полей (11) и опирается только на тот факт, что поле гравитино описывает два физических безмассовых состояния со спиральностями ±3/2. Этот вывод прямолинеен и требует лишь знания борновской амплитуды гравитационного рассеяния двух частиц со спином 3/2. Кроме того, он подчеркивает интерпретацию четырехфермионной связи, присутствующей в (10), как контактного члена той же природы, что и аналогичные члены в обычных теориях Янга — Миллса и в скалярной электродинамике. Рассмотрим одногравитонную амплитуду рассеяния двух частиц со спином 3/2. Волновая функция любой внешней линии с импульсом удовлетворяет на массовой оболочке следующим уравнениям:

Уравнения (12) сводят число компонент к четырем. Чтобы они сводились далее к двум физическим компонентам, матричный элемент 5 должен обращаться в нуль при подстановке где — константный майоранов спинор. Легко проверить. что борновская амплитуда одногравитонного обмена не удовлетворяет этому требованию и что -матрица обращается в нуль только при добавлении к борновской амплитуде контактного члена из (10). Существует простой довод, показывающий, что этот добавочный член может быть только четырехфермионной связью и что контактные члены с большим числом полей спина 3/2 не достигают цели. Рассмотрим рассеяние гравитино в древесном приближении. Рассеяние может происходить, в частности, путем обмена гравитино гравитонами (трилинейная связь). В таких диаграммах гравитационная константа связи у. всегда появляется в степени Предположим теперь, что мы подставили просуммировали все вклады в -матрицу и убедились, что она не равна нулю. Это означало бы, что в лагранжиан следует добавить выражение типа где обозначает -кратную производную и опущены лоренцевы индексы. Простые размерные соображения сильно ограничивают возможный вид таких членов: из кинетической части действия следует, что размерность равна в единицах массы, где — размерность пространства-времени, которую

мы не фиксируем. Тогда размерность константы связи равна

Такие контактные члены должны соответствовать возможным калибровочно неинвариантным членам, у которых Так как то для совместности необходимо

Для любого возможно единственное решение Следовательно, лагранжиан супергравитации в пространстве-времени произвольного числа измерений может содержать контактный член только в виде четырехфермионной связи без производных.