4. Классические решения

Существует определенное число известных положительно определенных метрик, являющихся решениями уравнений Эйнштейна с Л-членом на компактных многообразиях (перечень таких метрик приведен в работах [6, 16]). Не следует ожидать, однако, что нам удастся найти в явном виде решения на многообразиях со сложной топологией. Тем не менее можно получить оценки для действия решений на таких многообразиях.

Будем искать решения уравнения

Из соображений размерности следует, что объем V любого такого решения связан с Л соотношением

где — константа (положительная или отрицательная), зависящая от топологии и от выбора частного решения, если существует более чем одна топология (что маловероятно). Евклидово действие I (содержащее Л-член) определяется выражением

Нижняя граница константы равна что соответствует значению, принимаемому на 4-мерной сфере. Верхнюю границу

можно вывести из соотношений (2.1) и (2.2). Для решений уравнения (4.1) эти соотношения имеют вид

где — тензор Вейля и -Комбинируя соотношения (4.4) и (4.5), получаем неравенство

знак равенства достигается в том и только том случае, когда тензор Вейля автодуален или антиавтодуален, т. е. если

Из соотношения (4.4) видно, что при больших значениях эйлеровой характеристики справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений:

а) велико,

В первом случае константа должна быть положительной (а параметр — отрицательным), так как для нее существует нижняя граница, равная Во втором случае тензор Вейля должен быть большим. Как и в обычной общей теории относительности, это оказывает фокусирующее действие на геодезические (они сходятся сильнее), аналогичное действию положительного тензора Риччи. Однако между любыми двумя точками в пространстве должна существовать геодезическая минимальной длины, не содержащая сопряженных точек. Следовательно, чтобы кривизна Вейля не сводила геодезические слишком быстро, необходимо ввести отрицательный тензор Риччи или Л-член порядка где — характерный масштаб длины порядка (число единиц длины, приходящихся на единицу эйлеровой характеристики). Таким образом, можно Ожидать, что оба члена в правой части соотношения (4.4) будут сравнимыми по величине, а константа будет порядка где

Изложенные выше соображения подкрепляются рядом примеров, за которые я весьма признателен Н. Хитчину. Нижняя граница достигается на пространствах постоянной кривизны, которые можно, профакторизовав, превратить в компактные с любой эйлеровой характеристикой Пространства постоянной голоморфной секционной кривизны имеют Произведения двух 2-мерных пространств постоянной

кривизны имеют Для алгебраических гиперповерхностей Существует целое семейство пространств, являющихся пересечением гиперповерхностей в комплексном проективном пространстве. Им соответствуют значения плотные в интервале Произведения пространств и пространства постоянной кривизны неодносвязны, остальные — односвязны.

Если многообразие допускает кэлерову структуру, то

где -первое число Черна, которое всегда целое. По теореме Макса Нётера

Рис. 1. Зависимость от эйлеровой характеристики для решений уравнений Эйнштейна на компактных многообразиях. В заштрихованных областях решения не существуют. Решения, допускающие кэлерову структуру, заключены в области между кривыми, названными границами Кэлера.

поэтому в пределе при больших х выполняется неравенство Эти границы и примеры изображены на рис. 1, предложенном Дж. В. Гиббонсом. При малых значениях х существуют такие примеры, как с отрицательными значениями Переход от отрицательных значений к положительным, по-видимому, происходит в точке которая соответствует единственному (с точностью до факторизации) компактному многообразию, допускающему положительно определенную метрику с автодуальной кривизной [17, 18]. По-видимому, для любого многообразия с х, большим чем 24 (значение, соответствующее точке константа имеет положительное значение.

Интересно также рассмотреть число модулей этих примеров, или, иначе говоря, число свободных параметров, которые они содержат. Для пространств постоянной кривизны но для гиперповерхностей а Для произведений кривых Все это наводит на мысль, что «большинство» решений заключено в интервале