4. Точное определение инстантонов

Мы начнем с тривиального неравенства

из которого следует неравенство

так как . В неравенствах (4.1) и (4.2) знак равенства достигается только для автодуальных калибровочных полей

Используя антисимметричность тензора и свойство следа можно доказать следующее тождество:

где

Тождество (4.3) позволяет преобразовать интеграл в правой части неравенства (4.2) в поверхностный интеграл с помощью теоремы Гаусса:

Интеграл в правой части равенства (4.4) берется по сфере

При использовании теоремы Гаусса мы неявно предполагали, что функционал действия конечен. Это в свою очередь означает, что

Здесь мы использовали равенство (3.10); — произвольная унитарная матрица второго порядка с определителем, равным единице, так что Из равенства (4.6) и (4.7) следует

Сфера может быть параметризована тремя параметрами Используя равенства (2.13) и (2.15) при получаем элемент объема в виде

Подстановка выражений (4.9) и (4.10) в равенство (4.4) дает

Легко проверить, что подынтегральное выражение в правой части равенства (4.11) удовлетворяет следующему тождеству:

Следовательно,

так как, в то время как точка пробегает по сфере один раз, вектор может пробегать сферу раз, каждый раз давая вклад в виде 4-мерного телесного угла

Таким образом, используя равенства (4.12) и (4.13), мы устанавливаем следующее неравенство для функционала действия

Знак равенства достигается только для автодуальных калибровочных полей Топологический заряд в случае инстантонов называется инстантонным числом. Неравенство (4.14) показывает, что для любого данного автодуальные либровочные поля доставляют абсолютный минимум функционалу действия

Вопрос о достижимости равенства является динамической, а не топологической проблемой и требует построения явных решений уравнений автодуальности Потребовались огромные усилия как физиков, так и математиков, чтобы получить явные решения уравнений автодуальности Попытки начались с пионерской работы Белавина, Полякова, Шварца и Тюпкина для и достигли высшей точки в работе Атьи, Дринфельда, Хитчина и Манина

(АДХМ) для любого АДХМ-конструкция была получена с использованием современной математики — дифференциальной и алгебраической геометрии, математики, слишком сложной для большинства физиков. Парадоксально, что АДХМ-конструкцию очень трудно получить, но очень просто описать, как мы увидим в разд. 6.