3. Объемный канонический ансамбль

Статистическая сумма для теплового канонического ансамбля поля при температуре определяется выражением

где сумма берется по полному ортонормированному базису состояний Ту же статистическую сумму можно представить и в виде континуального интеграла

где — мера на пространстве всех полей — евклидово действие поля интеграл берется по всем полям, периодическим с периодом по евклидовой координате времени. В частности, этим определением можно воспользоваться для вывода энтропии черных дыр [4—6].

Статистическую сумму для того, что я называю «объемным каноническим ансамблем», можно ввести следующим образом:

где V — 4-объем, а сумма берется по полному ортонормированному базису состояний гравитационного поля. При этом неявно предполагается, что метрика компактна и 4-объем имеет смысл. Таким образом, можно представить в виде континуального интеграла:

где мера на пространстве всех метрик

— евклидово действие гравитационного поля с учетом -члена, а континуальный интеграл берется по всем метрикам на всех

компактных многообразиях. Статистическую сумму можно было бы поэтому считать аналогом функционала обычно интерпретируемого как амплитуда сопротивления вакуума при наличии источников В рассматриваемом случае такая интерпретация не подходит, так как из-за компактности многообразия нет ни начальных, ни конечных асимптотических областей.

Статистическую сумму можно рассматривать как преобразование Лапласа от где -число состояний гравитационного поля, заключенных в интервале 4-объемов от

Тогда -обратное преобразование Лапласа от

В (3.7) контур интегрирования проходит справа от любой сингулярности функции Этим достигается равенство при .