4. Асимптотически локально евклидовы метрики

При масштабном преобразовании (-константа) действие преобразуется, как Отсюда следует, что действие любой асимптотически евклидовой метрики, являющейся решением уравнений Эйнштейна, должно быть равно нулю, так

как на такой метрике действие достигает экстремума по всем возмущениям, включая растяжения или сжатия. Но гипотеза положительности действия утверждает, что любая асимптотически евклидова метрика с обладает положительным или нулевым действием, причем действие обращается в нуль в том и только в том случае, если метрика плоская. Следовательно, если эта гипотеза верна, не могут существовать нетривиальные асимптотически евклидовы вакуумные гравитационные инстантоны, т. полные несингулярные решения вакуумных полевых уравнений. В то же время гипотеза положительности действия отнюдь не исключает возможности существования вакуумных инстантонов, которые являются асимптотически локально евклидовыми (АЛЕ). Иначе говоря, вне некоторой компактной области такие инстантоны стремятся к евклидовой метрике на плоском пространстве, профакторизованном по какой-то дискретной подгруппе группы Первый АЛЕ-инстантон был получен Егучи и Хансоном [16]. Этот инстантон асимптотически стремится к евклидову пространству, в котором точка отождествлена с точкой и соответствует переходу из начального состояния в его образ при ТР-преобразовании. Несколько новых АЛЕ-инстантонов были получены в явном виде Гиббонсом и мною [17] и в неявном виде Хитчином [18] с помощью твисторной техники Пенроуза [19]. Эти инстантоны соответствуют более широким дискретным подгруппам и их физический смысл пока не ясен.

Все перечисленные метрики обладают автодуальной или антиавтодуальной кривизной, что позволяет сформулировать обобщенную гипотезу положительности действия: любая асимптотически локально евклидова метрика с обладает положительным или нулевым действием, причем действие обращается в нуль в том и только в том случае, если кривизна автодуальна или антиавтодуальна. В пользу такой гипотезы говорит следующий факт: как нетрудно показать, из всех метрик с локальными минимумами действия являются автодуальные или антиавтодуальные метрики. Если обобщенная гипотеза верна, то они же являются глобальными минимумами действия среди АЛЕ-метрик с подобно тому как автодуальные или антиавтодуальные инстантоны Янга — Миллса являются глобальными минимумами действия Янга — Миллса. Поэтому можно ожидать, что метрики, достаточно близкие к автодуальным или антиавтодуальным, дают основной вклад в амплитуды переходов, определяемые граничными условиями.

Особенно интересное приложение эти идеи находят в теориях супергравитации [20]. В автодуальной метрике кривизна, воспринимаемая штрихованными спинорами, равна нулю, поэтому существуют два независимых ковариантно постоянных

спинора которые можно выбрать так, чтобы выполнялись соотношения

В АЛЕ-автодуальной метрике поэтому существуют автодуальных гармонических 2-форм (полей Максвелла), которые являются нормируемыми, т. е. квадратично интегрируемыми, и нет нормируемых антиавтодуальных гармонических 2-форм. Автодуальные гармонические 2-формы можно представить посредством симметричных спиноров, удовлетворяющих уравнению для спина 1

Умножая на тот или другой ковариантно постоянный спинор, мы получаем нулевых мод уравнения Майораны для спина 3/2 в калибровке

где из этих мод не принадлежит к числу чисто калибровочных, т. е. не имеет вида Умножая на другой ковариантно постоянный спинор и симметризуя по индексам со штрихами, мы получаем поперечных нулевых мод с нулевым следом уравнения для возмущений метрики в гармонической калибровке

Где

Не более трех таких Мод (в зависимости от дискретной группы могут быть чисто калибровочными и отвечать глобальным вращениям инстантонов в асимптотически локально евклидовом пространстве. Соотношения между нулевыми модами с различными спинами в действительности представляют собой глобальные преобразования суперсимметрии с ковариантно постоянными спинорными параметрами.

Действие фонового автодуального АЛЕ-инетантона равно йулю и поэтому не дает вклада в Однопетлевой член в простой супергравитации можно представить в виде

где В — векторный оператор духов, соответствующий выбору калибровки относительно диффеоморфизмов, С — оператор спина 3/2 (он входит в степени 1/2, так как мы имеем дело с полем

Майораны), Е — оператор возмущения метрики в уравнении (4.4), а суперсимметрийный оператор духов со спином 1/2 (он входит в степени 3/2, так как мы имеем дело с полем Майораны, и при усреднении по суперсимметрийным калибровкам возникает множитель [21]). Кроме того, существуют нераспространяющихся компонент тетрады и нераспространяющихся компонент вспомогательных полей [22, 23], но они взаимно уничтожаются с 12 нераспространяющимися духами тетрадных вращений.

Глобальные преобразования суперсимметрии позволяют установить соотношения между ненулевыми модами операторов В, С, Е, F [20]. Кратности таковы, что в однопетлевом члене (4.5) ненулевые собственные значения полностью уничтожаются. Тем самым бесконечномерный однопетлевой континуальный интеграл вырождается в конечномерный интеграл по нулевым модам. Такого рода взаимное уничтожение бозонных и фермионных операторов — одна из наиболее привлекательных особенностей теорий супергравитации. Она позволяет питать надежду, что этим теориям удастся придать некий разумный математический смысл. Вместе с тем необходимо отметить, что на обычном языке диаграмм Фейнмана однопетлевой член (4.5) обладает логарифмической расходимостью, поскольку числитель и знаменатель имеют различное число нулевых мод (доказательство того, что все однопетлевые члены в супергравитации конечны, применимо лишь к топологически тривиальным метрикам). Однопетлевой член вводит параметр отражающий вклад меры на нулевых модах. Единого мнения относительно выбора этой меры пока не существует.

Гравитационные нулевые моды оператора Е (их число равно соответствуют глобальным вращениям, растяжениям и другим автодуальным возмущениям инстантонной метрики. Для их рассмотрения удобно ввести коллективные координаты для ориентации, масштаба и других характеристик инстантона, которые приводят к появлению множителя вида

где — некоторый характерный размер инстантона. Нулевые моды со спином 3/2 оператора С (их число равно входят в (4.5) в числитель и в отсутствие источников обращают в нуль амплитуду перехода из вакуума в вакуум. Вклад источников описывают, добавляя член

где поле Майораны со спином 3/2 представлено евклидовыми спинорами а ток источников — величинами

Если источники имеются, то амплитуда перехода из вакуума в вакуум пропорциональна

где нулевых мод с положительной спиральностью и спином 3/2. К амплитуде даваемой выражением (4.7), необходимо прибавить значение порядка единицы, возникающее из-за однопетлевой поправки к плоскому евклидову пространству. Затем вычисляют функциональные производные по г) в точках, что приводит к -точечной функции, нарушающей закон сохранения спиральности, т. е. превращающей частиц с положительной спиральностью в то же число частиц с отрицательной спиральностью.

Простейший автодуальный АЛЕ-инстантон — инстантон Егучи—Хансона [16] — имеет Следовательно, мы получаем изменяющую спиральность двухточечную функцию, которую можно было бы рассматривать как массовый член со спином 3/2 в заданной метрике. Но поскольку инстантон Егучи — Хансона асимптотически стремится к евклидову пространству, в котором точки отождествлены с точками то эту же функцию допустимо интерпретировать как четырехточечную функцию на евклидовом пространстве, которая превращает 2 частицы со спинами 3/2 и положительными спиральностями в их ТР-аналоги — две частицы с отрицательными спиральностями, но с теми же импульсами.

Аналогичная ситуация возникает и в расширенных вариантах теорий супергравитации. Единственное отличие состоит в том, что число нулевых мод со спинами 3/2 в этом случае равно где — число полей со спином —3/2. Следовательно, мы получаем амплитуды, изменяющие спиральность. Таким образом, расширенные теории супергравитации охватывают поля со спином 1 и могут включать поля со спином 1/2 и 0. Нулевые моды полей со спинами 1/2 и 0 в автодуальной АЛЕ-инстантонной фоновой метрике отсутствуют. Существуют х нулевых мод со спином 1, но они не входят в однопетлевой член, поскольку их происхождение не связано с потенциалом. Если эти нулевые моды—калибровочные поля (абелевы или иного типа), то их можно квантовать по аналогии с условием Дирака для магнитных монополей.