б. Майорановские и вейлевские спиноры в пространстве-времени произвольного числа измерений

В пространстве-времени четного числа измерений можно ввести матрицу которая антикоммутирует со всеми остальными матрицами Дирака и выражается через них следующим образом: где выберем так, чтобы Тогда (В более общем случае пространственных и временных измерений Левые и правые вейлевские спиноры определяются условиями Эти условия совместны с уравнением Дирака только при нулевой массе.

Дираковский спинор содержит степеней свободы, а вейлевский —

В нечетномерном пространстве-времени вейлевских спиноров не существует. Положим где четно. Представление алгебры Клиффорда в измерениях получается добавлением к матрицам Дирака в измерениях матрицы

Майорановские спиноры существуют только в выделенных пространственно-временных измерениях. Имеет место следующая теорема [15,28]:

Теорема. Майорановское представление Г-матриц, т. е. представление с чисто мнимыми Г-матрицами, существует в том и только том случае, когда число измерений по модулю 8. Для такого числа измерений можно определить как массивные, так и безмассовые майорановские спиноры, которые вещественны в майорановском представлении.

Ход доказательства следующий. Так как Г и (звездочка означает комплексное сопряжение) удовлетворяют одной и той же алгебре Клиффорда и представление на Г-матрицах неприводимо, то существует матрица В, которую можно назвать матрицей комплексного сопряжения, такая, что

Матрица В обладает свойствами инволюции, вследствие чего В и пропорциональны друг другу: Масштабным преобразованием легко получить Далее можно показать, что вещественно и поэтому может принимать только два значения: или —1. Значение не зависит от частного вида выбранного представления Г-матриц.

Если спинор удовлетворяет уравнению Дирака

то подчиняется уравнению Дирака, в котором заменено на . Таким образом, соответствует античастице

частицы, описываемой спинором Майорановские спиноры по определению описывают частицы, совпадающие со своими античастицами, что подразумевает Это условие, связывающее вещественную и мнимую части может быть наложено лишь в определенных случаях. Действительно, из него следует

С другой стороны, (в результате комплексного сопряжения так что

а это возможно лишь для

Для как это имеет место, например, в случае евклидового 4-мерного пространства-времени, необходимо другое определение майорановских спиноров [29].

Для вычисления нам потребуется сигнатура метрики, имеющая вид

Рассмотрим представление, в котором Г-матрицы (анти)эрмитовы:

а следовательно, матрицей эрмитового сопряжения является

Теперь мы можем определить матрицу зарядового сопряжения С, которая связывает матрицы подчиняющиеся одной и той же алгебре:

Тогда где индекс Т обозначает, транспонирование.

Вычислим двумя различными способами — как и как

Отсюда следует, Что В и пропорциональны друг другу и ввиду выбранной нормировки матрица В унитарна: Поскольку мы знаем, Что находим

так Что матрицы либо симметричны, Либо антисиммет ричны. Чтобы найти подсчитаем двумя различными

способами число -независимых антисимметричных матриц (здесь предполагается, что четно). Очевидно, что оно равно

С другой стороны, это число можно найти, введя полный базис пространства таких матриц, построенный из всех антисимметризованных произведений Г-матриц:

Всего имеется независимых матриц -типа. Легко показать, что

т. е. матрица либо симметрична, либо антисимметрична:

Число антисимметричных матриц можно сосчитать, введя функцию, равную единице для антисимметричной и равную нулю для симметричной матриц:

Суммирование проводится элементарно, если заметить, что

Окончательно находим Таким образом, для для В случаях можно, кроме того, показать, что существует чисто мнимое представление Г-матриц, для которого и майорановский спинор веществен.

В случаях такого чисто мнимого представления Г-матриц не существует и майорановские спиноры определить нельзя (по крайней мере при данном определении майорановских спиноров; возможны более общие случаи, когда спиноры несут индекс внутренней симметрии и определение майорановских спиноров учитывает эту внутреннюю симметрию) [30].

Перейдем теперь к нечетному числу пространственно-временных измерений где четно. Существуют ли здесь чисто мнимые представления Г-матриц? В -мерии Г-матрицы

имеют ту же размерность, что и в -мерии, и задаются следующим образом:

Здесь в определение введена мнимая единица с целью сделать пространственноподобной. Для первые матриц могут быть выбраны чисто мнимыми. Матрица вещественна, и если вещественна то существует майорановское представление Г-матриц в -мерии и вместе с ним майорановские спиноры. Для этого необходимо следовательно, нечетно и подходит, в то время как нет.

Наконец, зададимся вопросом: могут ли существовать безмассовые майорана-вейлевские спиноры? Число измерений должно быть четным, а условие — совместным с должна быть вещественной матрицей. Отсюда следовательно, нечетно и . Таким образом майорана-вейлевские спиноры могут быть определены только в измерениях.

Эту теорему можно обобщить на случай временных и 5 пространственных измерений. Если четно, то чисто мнимое представление Г-матриц и майорановские спиноры существуют при .

В безмассовом случае может быть дано более общее определение майорановских спиноров. Поскольку уравнение Дирака сводится к где то, найдя вещественное представление -матриц, мы можем определить майорановские спиноры как чисто вещественные [31] (такая ситуация реализуется для В общем случае безмассовые майорановские спиноры, как можно показать, эквивалентны вейлевским; единственный интересный случай (когда спинор может быть и вейлевским, и майорановским) имеет место для .

Теперь мы можем определить число М генераторов суперсимметрии, возникающих при размерной редукции алгебры простой суперсимметрии в измерениях до 4 измерений. Генератор разлагается на М майорановских спинорных генераторов каждый из которых представляет две вещественные степени свободы. Сам представляет степеней свободы, где — коэффициент редукции, учитывающий природу спинорного генератора: для дираковских спиноров, для майорановских или вейлевских спиноров, для майорана-вейлевских спиноров.

Следовательно, число майорановских спинорных генераторов алгебры расширенной суперсимметрии в 4 измерениях равно

Ниже приведены значения М, соответствующие

В последней строке указана очевидная группа симметрии, возникающая при размерной редукции. Однако действительная группа инвариантности редуцированной теории может быть большей. Так, например, в безмассовых теориях после редукции может возникать суперконформная группа.

Таким образом, М быстро растет с увеличением Как мы увидим в разд. имеются представления расширенной суперсимметрии с

Таким образом, мультиплеты с и явным массовым членом могут быть получены только из Мультиплеты с (расширенные суперсимметричные теории Янга—Миллса) могут существовать до для майорана-вейлевских спиноров [32]. Теории супергравитации, в которых могут существовать до для майорановских спиноров [32]. При по-видимому, нельзя построить суперсимметричные теории со взаимодействием, поскольку уже при мы вынуждены вводить частицы со спином 4.

Это алгебраическое рассмотрение является лишь доводом в пользу существования упомянутых теорий. Чтобы убедиться в их существовании, следует их явно построить. Ниже мы приводим два интересных примера: суперсимметричную теорию Янга — Миллса в измерениях, которая при размерной редукции соответствует представлению суперсимметрии с -инвариантностью, и теорию супергравитации в измерениях, приводящую к теории супергравитации с спинорными генераторами.