Г. Возможные модификации гравитации на малых расстояниях

В расширенных супергравитациях замечательным образом объединяются эйнштейновская теория гравитации и полевые теории, используемые в физике частиц, т. е. калибровочные теории, дираковская теория электрона и теория Клейна — Гордона для скалярных полей (последние необходимы в калибровочных теориях для механизма Хиггса). Все эти поля содержатся в представлении алгебры расширенной суперсимметрии при Однако при локализации появляются некоторые нефизические особенности; кроме того, нет гарантии перенормируемости на уровне трех и большего числа петель. Если расширенные супергравитации окажутся действительно неперенормируемыми, останется ли надежда на существование конечной теории квантовой гравитации, взаимодействующей с материальными полями?

Быть может, гравитацию (и ее суперсимметричные обобщения) следует изменить на малых расстояниях аналогично тому, как модифицируется на малых расстояниях V — А-теория, рассматриваемая как приближение модели Вейнберга — Салама. Тогда можно было бы ожидать, что была бы не фундаментальной, а феноменологической постоянной, выражаемой в виде где — фундаментальная безразмерная константа взаимодействия, — новый масштаб энергии. На расстояниях эйнштейновская теория гравитации перестает быть справедливой. В модели Вейнберга — Салама естественным обрезанием служит масса -бозона.

Продолжая в том же направлении, можно ожидать, что обмен гравитоном должен сопровождаться обменом тяжелыми частицами, которые пока не удалось зарегистрировать (пока еще не зарегистрирован и сам гравитон!). Примерами таких теорий гравитации являются модели типа где пропагатор гравитона ведет себя как Они действительно перенормируемы [47], однако массивные частицы, сопровождающие гравитон, являются либо тахионами либо духами (отрицательная норма).

Пока известна лишь одна модель, в которой гравитон принадлежит набору полей с нужными свойствами (т. е. не являющимися ни духами, ни тахионами). Это дуальная спинорная модель (или модель спиновой струны) [13, 14]. В ней вместо движения точечных частиц со спином в пространстве-времени Минковского рассматривается движение одномерных объектов (струн), каждая точка которых имеет, кроме того, спиновую степень свободы. Длина струны не фиксирована, она является динамической переменной. Порядок ее величины задается параметром с размерностью длины; а имеет

размерность Классическое действие струны суперсим-метрично в двумерном пространстве, заметаемом струной при движении в пространстве-времени. В классической теории можно показать, что где М — масса струны, а ее угловой момент, т. е. чем быстрее вращается струна, тем больше ее масса.

При каноническом квантовании струны ее колебательные моды приводят к бесконечной последовательности частиц, лежащих на прямолинейных траекториях Редже. и могут теперь иметь только целые или полуцелые значения. Поскольку имеются два типа струн — открытые и замкнутые, — им соответствуют два сектора квантовой теории. Открытые струны могут иметь квантовые числа произвольной группы внутренней симметрии замкнутые же струны должны быть синглетами Все состояния квантованных открытых струн принадлежат присоединенному представлению группы

Условия совместности лоренц-инвариантности и канонического квантования настолько ограничительны, что модель может существовать только в -мерном пространстве-времени. Однако дополнительных измерений могут быть компактифицированы [20], как в полевых теориях, описанных в разд. Б (а), так что, если 6 длин достаточно малы, мы не приходим к противоречию с ежедневным опытом.

Свободные квантованные струны можно заставить взаимодействовать, если ввести константу связи описывающую разрыв и объединение струн.

Квантовый спектр открытых и замкнутых струн начинается с Если а достаточна мала, то возбужденные состояния, имеющие квадрат массы порядка могут быть ненаблюдаемы. Можно показать, что для любого уровня с данной массой числа бозонных и фермионных состояний равны, что является необходимым условием суперсимметричности. Далее, ни одно из этих состояний не является духом или тахионом. Это следует из наличия в модели бесконечномерной градуированной алгебры Ли калибровочных операторов, с помощью которой исключаются духи.

Интересно изучить классическое взаимодействие безмассовых частиц модели в пределе, когда все энергии малы по сравнению с обрезанием Классическое взаимодействие описывается древесными диаграммами, известными в явном виде. В пределе, когда очень велико, с помощью древесных диаграмм можно восстановить феноменологическое действие, из которого они следуют в этом пределе.

Состояниями открытой квантованной струны с нулевой массой является векторная частица и майорана-вейлевский фермион в присоединенном представлении пределе они

взаимодействуют в точности согласно -мерной суперсимметричной теории Янга—Миллса [15, 16] (см. разд. Б (в)).

Состояния замкнутой струны с нулевой массой имеют спин

2, 3/2 и меньше и взаимодействуют согласно -мерной теории супергравитации [15, 16]. В частности, взаимодействие между частицами со спином 2 описывается эйнштейновским действием [48]. Интересно, что, будучи определенной в плоском пространстве-времени, эта модель естественно приводит к кривизне, так как она содержит гравитоны, взаимодействующие при низких энергиях согласно теории Эйнштейна.

В этой теории гравитационная и калибровочная константы взаимодействия связаны друг с другом, поскольку единственными параметрами теории являются a и b параметров . В простом случае, когда все порядка (а) мы находим [48], что так что является обрезанием, аналогичным массе -бозона в модели Вейнберга — Салама. Более того, (вместо отражает тот замечательный факт, что в этой теории весь гравитационный сектор (замкнутые струны) получается как связанное состояние янг-миллсовского сектора (открытые струны) уже на однопетлевом уровне.

Типичное значение порядка планковской длины, что действительно привело бы к ненаблюдаемости возбужденных состояний.

Наконец, благодаря параметру обрезания сглаживается взаимодействие частиц при высоких энергиях (малых расстояниях). Например, в эйнштейновской теории гравитации амплитуда рассеяния гравитона на гравитоне при фиксированном угле в системе центра масс растет как где Е — энергия в с. что нарушает унитарность при достаточно больших энергиях. В дуальной спинорной модели эта амплитуда экспоненциально убывает как мы видим, что а подавляет взаимодействие при высоких энергиях. В диаграммах с петлями ультрафиолетовые расходимости отсутствуют, но имеются инфракрасные. Диаграммы с петлями, содержащие только замкнутые струны, конечны по топологическим соображениям, а диаграммы, содержащие открытые струны, приводят к перенормировке а.

Преимущество струнной модели по сравнению с теориями расширенной супергравитации состоит в том, что она допускает взаимодействие гравитации с калибровочными полями произвольной группы и не противоречит этим теориям, поскольку при низких энергиях она воспроизводит последние во взаимодействии с суперсимметричной -теорией Янга — Миллса. Если теории расширенной супергравитации окажутся не полностью перенормируемыми, то струнная модель может стать исходным пунктом конечной теории квантовой гравитации,

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)