8. Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации

H. Дрэгон

Dragon N., Zs. f. Phys., Particles and Fields, C2, 29 (1979)

С помощью первых тождеств Бьянкн показано, что в расширенной супергравитации кривизну можно выразить через крученне и его коварнантные производные. Показано, что вторые тождества Бьянки вытекают из первых. Таким образом, все выражения, содержащие кривизну, могут быть записаны через кручение, которое является фундаментальным геометрическим объектом в супергравитацин.

1. Введение

Супергравитадия может быть сформулирована либо в компонентном формализме [1], либо как геометрическая теория в суперпространстве [2]. Второй подход дает более глубокое понимание, поскольку он может рассматриваться как обобщение идей дифференциальной геометрии в ситуации, когда некоторые из координат антикоммутируют. При изучении свойств супергравитации обнаружился необычный факт: все компоненты кривизны могут быть выражены через кручение и его ковариантные производные.

В этой статье мы покажем, что в расширенной супергравитации кривизна также может быть выражена через кручение и что это общее свойство, не зависящее от ограничений, накладываемых на кручение. Источник этой особенности заложен в свойствах генераторов структурной группы, которые позволяют выразить некоторые циклические суммы через отдельные члены. Используя еще раз это свойство, мы покажем также, что вторые тождества Бьянки не дают новых условий, но выполняются как следствия первых. Этот результат должен значительно упростить проверки уравнений на кручение [5]. Прежде чем доказывать указанный результат, мы разберем технику ковариантного дифференцирования, которая позволяет применять тензорные формулы в тензорном исчислении с наличием грассмановых величин.