3. Симметрии расширенных супермультиплетов

В любой суперсимметричной теории частицы и соответствующие им поля объединяются в супермультиплеты. Супермультиплет полей состоит из набора обычных полей с разными спинами, статистиками и свойствами внутренней симметрии. В этом разделе мы опишем достаточно подробно структуру массивных и безмассовых мультиплетов расширенной -суперсимметрии и их свойства относительно внутренней симметрии. Предполагается, что состояния из этих мультиплетов должны описываться асимптотическими полями суперсимметричных квантовых теорий поля. Согласно Саламу и Стратди [23,24], для построения супермультиплетов частиц используется вигнеровский метод индуцированных представлений. Положим временно в алгебре суперсимметрии (сектор нулевых центральных зарядов). Рассмотрим сначала подалгебру стабильности времениподобного вектора где М — масса, общая для всех состояний данного массивного супермультиплета. В представлении Майораны подалгебра стабильности приобретает вид

Антикоммутаторы (13) определяют клиффордову алгебру группы Ее единственное неприводимое представление имеет размерность Оно распадается на два неэквивалентных неприводимых спинорных представления размерности Используя двухкомпонентные вейлевские спиноры, перепишем (13) в следующем виде:

удовлетворяют алгебре ферми-операторов рождения и уничтожения. Рассмотрим клиффордов вакуум определяемый

условием

Над ним можно построить состояний

Эти состояния классифицируются с помощью оператора спина

принадлежащего обертывающей алгебре супералгебры Пуанкаре. Если определить -компонентные спиноры:

то (13) и (14) переходят в

Алгебра (19) явно инвариантна относительно [25, 26]. -мерное векторное представление остается неприводимым при редукции

Симплектические генераторы, классифицирующие состояния в (16), имеют вид

они коммутируют с - генераторами (17). Два неприводимых спинорных представления соответствующих двум собственным значениям ±1 оператора разлагаются в сумму следующих неприводимых представлений

Здесь — -индексное антисимметричное бесследовое представление Одно из неприводимых спинорных представлений содержит целые спины (бозоны) разложения (22), а другое — соответственно полуцелые спины (фермионы). - спин пробегает в спинорных представлениях значения от до Рассмотрим для ясности конкретный случай В этом примере клиффордовой алгебре соответствует группа и генераторы являющиеся векторами относительно , принадлежат

неприводимому представлению (2,4) группы

50 (5) с 50 (8). Из диаграммы Дынкина для группы следует, что группа имеет три неэквивалентных восьмимерных представления , разлагающиеся относительно на (2,4), (2,4), Таким образом, в фундаментальном массивном супермультиплете расширенной -суперсимметрии фермионы и бозоны преобразуются относительно как (2,4) и ( соответственно.

Можно построить и более общие представления суперсимметрии. Например, можно ослабить условие на клиффордов вакуум предположив, что он принадлежит нетривиальному представлению группы вращений, генерируемой оператором Паули — Любанского — Баргмана, и группы внутренней симметрии. В этом случае общее неприводимое массивное представление расширенной -суперсимметрии будет определяться несколькими операторами Казимира: суперспином и операторами Казимира внутренней симметрии [23,28]. Используя суперполевой язык, операторы Казимира легко записать в терминах ковариантных производных. Действительно, если во всех предыдущих выражениях заменить операторы на ковариантные производные то мы получим операторы, коммутирующие с генераторами суперсимметрии, так как Поэтому операторы Казимира, построенные из можно использовать для классификации неприводимых представлений расширенной УУ-суперсимметрии. В табл. 1 приведены некоторые массивные представления

Таблица 1 (см. скан) Некоторые массивные представления (без центральных зарядов)

расширенной W-суперсимметрии (до N = 5 включительно). Массивные представления расширенной Л-суперсимметрии имеют размерности

где — размерность клиффордова вакуума. При наличии центральных зарядов массивные представления могут иметь меньшие размерности [29,30]. Рассмотрим несколько примеров. В расширенной суперсимметрии массивные мультиплеты с центральными зарядами имеют размерность вместо и область изменения спинов вместо Эти состояний являются дублетом массивных представлений расширенной -суперсимметрии без центральных зарядов. Они классифицируются по представлениям внутренней группы (вместо ). В табл. 2 приведены некоторые массивные представления с центральными зарядами.

Таблица 2 (см. скан) Некоторые массивные представления (с центральными зарядами). Комплексные представления

Обратимся теперь к безмассовым представлениям. В этом случае можно выбрать . Подалгебра стабильности принимает вид

Из (24) следует, что и клиффордова алгебра состоит из операторов рождения и уничтожения. Положив и изменив нормировку в 2 раз, получим

Если определить теперь вещественный вектор

то (25) становится клиффордовой алгеброй группы Фундаментальный безмассовый мультиплет расширенной N-cyперсимметрии совпадает со спинорным представлением и имеет размерность Нас будет интересовать разложение относительно соответствующее включению фундаментального представления в векторное представление . В случае внутренняя группа определенная в (21), сводится фактически к группе с генераторами

-генератор связан с внутренней спираль» ностью следующим соотношением:

В пространстве, натягиваемом векторами

Т пробегает значения от до

Если определить спиральность группы Пуанкаре как оператор, преобразующий обратно преобразованию Т, то суперспиральность дается суммой ; она является оператором Казимира для безмассовых представлений. Для СРТ-самосопряженности данного мультиплета необходимо, чтобы т. е. В этом случае мультиплет содержит полный набор спиральностей (вместе с противоположными) принадлежащих неприводимым представлениям вида Если то к мультиплету с суперспиральностью следует добавить СРТ-сопряженный мультиплет с противоположной суперспиральностью Это означает, что Заметим, что мультиплет не может быть самосопряженным при нечетных Размерность клиффордова вакуума можно увеличить, предположив, что он преобразуется по некоторому неприводимому представлению киральной группы В этом случае СРТ-самосопряженное представление алгебры суперсимметрии получается сложением двух представлений с противоположными суперспиральностями и клиффордовыми вакуумами, преобразующимися соответственно по представлениям и группы Дублирование представлений необязательно, если суперспиральность равна нулю и если является самосопряженным представлением группы Размерность произвольного представления равна в случае нулевой суперспиральности и в остальных случаях. Из предыдущих рассуждений следует, что для СРТ-самосопряженного безмассового мультиплета минимальный интервал изменения

спиральностей лежит в пределах от до для нечетных

В табл. 3 и 4 приведены безмассовые мультиплеты с синглетными относительно максимальными спиральностями Ямакс

Таблица 3 (см. скан) Безмассовые представления с максимальной спиральностью

Таблица 4 (см. скан) Безмассовые представления с максимальной спиральностью -классификация

Отметим, что подгруппа группы является максимальной внутренней симметрией безмассовых мультиплетов, реализующейся вектороподобно. При расширении до безмассовые мультиплеты теряют определенную

четность, так как данная спиральность и противоположная ей спиральность принадлежат соответственно сопряженным представлениям Тем не менее может случиться, что некоторые состояния данного мультиплета принадлежат самосопряженному представлению для них может быть определено понятие четности. Ясно, что любой неприводимый СРТ-самосопряженный мультиплет не может быть самосопряженным относительно киральной группы вращающей состояния вида Однако, добавив несколько безмассовых мультиплетов, можно получить мультиплет, состояния которого принадлежат самосопряженным представлениям Такая ситуация возникает, например, при разложении состояний массивного представления по состояниям с определенной спиральностью [26]. Массивное представление разлагается в сумму неприводимых безмассовых представлений. Состояния с данной спиральностью классифицируются по подгруппе группы в соответствии с разложением векторного представления относительно В табл. 5 приведено такое разложение для массивного мультиплета расширенной -суперсимметрии с максимальным спином (фундаментальное представление).

Из предыдущего анализа видно, что область изменения спиральностей в безмассовом представлении меньше, чем в массивном. Причина этого лежит в сокращении размерности клиффордовой алгебры в «системе покоя», соответствующей в первом случае группе а во втором Безмассовое фундаментальное представление расширенной -суперсимметрии есть спинорное представление соответствующее разложению относительно Очевидно, что предыдущее обсуждение может быть обобщено на случай суперсимметрии в пространстве-времени произвольного числа измерений. Например, рассматривая безмассовые представления -суперсимметрии в десяти измерениях [31], мы находим, что клиффордова алгебра соответствует группе как и для массивного случая в четырех измерениях. Фундаментальное безмассовое представление соответствует паре неприводимых представлений а именно векторному и спинорному представлениям, описывающим векторное поле и спинор Вейля — Майораны в десяти измерениях. Клиффордова алгебра для безмассовых представлений суперсимметрии в -мерном пространстве-времени [32] эквивалентна клиффордовой алгебре для безмассовых представлений -суперсимметрии или для массивных представлений -суперсимметрии в четырех измерениях.

В заключение рассмотрим еще раз некоторые представления расширенной -суперсимметрии с центральным зарядом [29, 30].

Таблица 5 (см. скан) Разложение массивного представления на безмассовые представления

Мы видели, что эти представления классифицируются по группе и имеют область изменения спина в пределах от 0 до четное). Их размерность равна , пока речь идет о содержании спиральностей, они совпадают с СРТ-самосопряженными безмассовыми представлениями расширенной -суперсимметрии. Эти представления можно рассматривать как некоторое специальное вложение N-мерное векторное представление остается неприводимым при ограничении до Применяя вышеизложенный анализ к -суперсимметричным теориям Янга — Миллса, мы приходим к выводу, что любой не нарушающий суперсимметрию механизм Хиггса с необходимостью приводит к массивным мультиплетам с центральными зарядами, спиновые состояния которых классифицируются по Это явление действительно происходит в спонтанно нарушенных расширенных суперсимметричных теориях Янга — Миллса.