Лекция 1. Суперсимметрия Алгебра

Алгебра

Алгебра определяется следующими соотношениями:

где — оператор 4-импульса, — вейлевский спинор, комплексно-сопряженный к нему спинор.

Суперпространство

Мы хотим найти представление этой алгебры дифференциальными операторами. Для этой цели мы определяем суперпространство. Оно состоит из обычного 4-мерного пространства и набора антикоммутирующих переменных Элемент этого пространства будет обозначаться через

Индексные обозначения следующие: латинские строчные буквы служат для обозначения компонент лоренцева 4-вектора, греческие буквы — Для компонент лоренцева спинора, латинские прописные буквы означают общий суперпространственный индекс.

Генераторы

Определим «конечный» элемент группы:

Пользуясь формулой Хаусдорфа, находим

Элемент «группы» индуцирует движение в суперпространстве:

Инфинитезимальные генераторы этого движения суть

что дает представление нашей алгебры.

Ковариантные производные

Представляет интерес изучить касательные «векторные поля» к кривым, порожденным элементами группы на суперпространстве. Они порождают так называемые ковариантные векторные поля, которые инвариантны по отношению к действию группы. Это означает, что групповые генераторы коммутируют (антиком-мутируют) с векторными полями. Поэтому их нетрудно строить следующим способом. Благодаря закону ассоциативности

эти векторные поля могут быть получены как инфинитезимальные преобразования, соответствующие правому умножению на элементы группы

Эти «ковариантные» производные удовлетворяют соотношениям

Введем обозначение

Тетрада

Напишем явное выражение

Введем также обратную матрицу

Мы будем называть обобщенной тетрадой плоского пространства.

Суперполя

Функции от называются суперполями. В качестве примера рассмотрим вещественное векторное суперполе, для которого

Каждое суперполе нужно понимать как степенной ряд по переменным 0, 0, который автоматически будет полиномом по 0, 0:

Закон преобразования поля легко получается из определения

где — определенные выше дифференциальные операторы. Почленное сравнение дает

Заметим, что компонента высшей степени по 0, 0 изменяется на полную пространственно-временную производную. Следовательно, проинтегрированное выражение инвариантно относительно преобразований суперсимметрии. Из определения и легко видеть, что это всегда справедливо. Произведение суперполёй дает снова суперполе. Это позволит нам конструировать суперсимметричные лагранжианы.

Ковариантные производные могут быть использованы для наложения связей на суперполе; это можно делать так, чтобы избежать уравнений в пространстве хт. Например, скалярное суперполе определяется как комплексное суперполе 5, удовлетворяющее условию

Компоненты могут быть отождествлены с компонентами V; тогда

Мы не накладываем ограничений на компоненты скалярного суперполя — поля Скалярное суперполе мы используем для определения калибровочных преобразований.

Калибровочные теории

Абелев случай. Определим калибровочное преобразование

Компоненты полей преобразуются по закону

Закон преобразования векторного поля показывает, что это

преобразование может быть использовано как суперсимметрич-ное обобщение калибровочного преобразования.

Суперполе инвариантно относительно калибровочных преобразований:

По определению удовлетворяет соотношениям

Это уменьшает число независимых полей в до

Из того, что следует, что выражение доставляет следующую лагранжеву плотность:

Эта лагранжева плотность инвариантна относительно калибровочных преобразований

а также относительно преобразований суперсимметрии

Неабелев случай. Пусть — генераторы компактной алгебры Ли; — суперполя.

Определим матричное поле

и введем калибровочное преобразование

Калибровочно ковариантная величина может быть определена, как и выше. Положим

Калибровочно инвариантная величина

дает лагранжеву плотность

где

Эта лагранжева плотность калибровочно инвариантна и суперсимметрична. Изложенный способ ее построения не очень систематичен — я сделал это намеренно, чтобы было ясно, как был угадан лагранжиан. Надеюсь, что теперь станет легче воспринять формализм следующей лекции, который позволит дать более последовательное изложение.