9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей в супергравитации

С. Джеймс Гэйтс К. С. Стелл, П. К. Вест

S. lames Gates, Jr., К. S. Stelle, P. С. West, Nuclear Phys., B169, 347 (1980)

В статье сформулированы алгебранческие мотивировки появления связей в суперпространственной формулировке супергравитации. Максимальная группа симметрии, возникающая при изучении связей, отождествлена с естественным обобщением группы Вейля в общей теории относительности. Введены в рассмотрение трансформационные свойства геометрических объектов теории относительно действия этой группы. Связи выводятся из требования сохранения общих свойств представлений плоской суперсимметрии. Кроме того, вводятся алгебраические условия, позволяющие получить в явном виде максимальное число компонент связности и репера.

1. Введение

Недавно был достигнут существенный прогресс в систематизации весьма сложной алгебраической структуры теорий супергравитации. Это началось с открытия минимального набора вспомогательных полей [1] и последующего развития тензорного исчисления [2].

Вскоре после этого была развита суперполевая теория супергравитации [3—5]. В то время как суперполевой подход включает большое количество информации компонентного подхода и в принципе является наиболее эффективным путем описания теорий супергравитации, исторически так сложилось, что основные результаты вначале были получены в компонентном формализме, а затем воспроизведены в суперпространстве.

Геометрический формализм общей теории относительности легко обобщается на суперпространство. Вводятся понятие общей ковариантности в суперпространстве и группа Лоренца касательного пространства с соответствующими репером и связностями Однако с условием, чтобы не было компонентных полей со спином выше двух, этот формализм сам по

себе оказывается несовместимым. Такая трудность преодолевается введением кинематических связей, при разрешении которых [4] реперы и связности выражаются через меньшее число препотенциалов. С другой стороны, можно начать с теории, содержащей только препотенциалы [6], но тогда затемняется геометрическая структура теории. Развитию суперпространственного подхода в. значительной мере мешала трудность нахождения подходящего набора кинематических связей (ограничений), поскольку не было систематических приемов нахождения связей из теоретико-групповых и алгебраических принципов.

Главная трудность, мешающая завершению систематизации теорий супергравитации, заключается в выявлении основных алгебраических принципов, определяющих выбор кинематических связей. Цель этой статьи состоит в том, чтобы дать последовательный вывод связей в -супергравитации в надежде, что этот вывод удастся легко обобщить на расширенные теории.

При рассмотрении алгебраической структуры различных связей, предлагавшихся для простой супергравитации, было выяснено, что они обладают более широкой симметрией, чем симметрия локальной группы Лоренца и общей ковариантности суперпространства, требуемых суперсимметрией Пуанкаре. Такая более широкая симметрия является суперпространственной формулировкой суперконформной симметрии, которая достигается двумя способами [7, 8]. Эта симметрия полностью согласуется с кинематической природой связей, в результате чего они должны быть в равной мере применимы как к супергравитации Пуанкаре, так и к конформной супергравитации.

В отличие от естественного обобщения общей ковариантности, состоящего в общих преобразованиях координат суперпространства, суперконформные преобразования [7,8] имеют сложную структуру. Они не являются естественным обобщением ковариантности Вейля в общей теории относительности. Это обстоятельство подсказывает подход к алгебраическому разъяснению смысла связей и является отправной точкой настоящей статьи. Мы используем непосредственное обобщение группы Вейля, которое называем супергруппой Вейля. Преобразования супергруппы Вейля включают масштабные преобразования с комплексным скалярным суперполем.

Другой существенный пункт нашего подхода состоит в использовании сохранения вида представлений плоской суперсимметрии. Это обеспечивает возможность ввести взаимодействие этих представлений с супергравитацией или конформной супергравитацией. Мы подробно обсуждаем условия интегрируемости, требуемые для этого сохранения, учитывая также условия обычного типа, которые определяют связности и векторные

компоненты обратного репера и дают возможность придать теории вид формализма второго порядка.

В разд. 2 мы резюмируем имеющиеся в настоящее время сведения о связях. В разд. 3 мы обсуждаем супергруппу Вейля, а в разд. 4 находим условия интегрируемости, требуемые для сохранения вида представлений. В разд. 5 мы классифицируем связи по их трансформационным свойствам относительно супергруппы Вейля, в частности по отношению к приводимости комплексного суперполя, служащего калибровочным параметром этой группы. Мы показываем, что различные наборы ограничений, предлагавшиеся для -супергравитации соответствуют двум возможным видам калибровки по супергруппе Вейля, которая может быть проведена ковариантно относительно локальной суперсимметрии Пуанкаре. Вместе с результатами работы [5] это объясняет происхождение двух различных наборов вспомогательных полей: минимального набора [1] и неминимального набора [9]. В последнем разделе обсуждаются дальнейшие применения результатов этой статьи.

Предварительные результаты настоящей работы сообщались на рабочем совещании в Стони Брук, проходившем 27—28 сентября 1979 г., и будут опубликованы в Трудах этого совещания [10].