г. Теория простой супергравитации D = 11 измерениях

Как мы видели из алгебраических рассуждений, является предельным числом измерений пространства-времени, для которого можно построить супергравитации Для явной конструкции [34] нам следует сначала найти поля теории. Среди них, очевидно, должны быть гравитон, описываемый репером и майорановский спин-вектор Кроме того, нужно ввести еще одно поле, что можно увидеть из подсчета степеней свободы, описываемых полями.

Поле вследствие общекоординатной и локальной лоренцевой инвариантностей описывает на массовой оболочке поперечный симметричный бесследовой тензор в измерениях. Поэтому оно представляет степени свободы в случае но 44 степени свободы в случае

Поле в плоском пространстве удовлетворяет обобщенному уравнению Рариты — Швингера с калибровочной инвариантностью дре. Можно показать, что на массовой оболочке и после выбора калибровки это уравнение сводится к

Отсюда видно, что по отношению к индексу ведет себя как безмассовый вектор А и описывает степени свободы. Дираковскому индексу соответствует степеней свободы. Наконец, следует учесть калибровочное условие исключающее степени свободы спинора. Поэтому число степеней свободы, описываемых на массовой оболочке безмассовым полем Рариты — Швингера, равно

Для и для майорановских или вейлевских спиноров это число равно 2, так что может существовать (и существует) представление суперсимметрии на полях это хорошо известная «обычная» простая теория супергравитации.

Для это число равно 128, и, следовательно, необхо димы еще 84 бозонные степени свободы. Поскольку мы имеем дело с безмассовыми частицами, поперечные компоненты полей, представляющие физические степени свободы, классифицируют

по группе Эта группа имеет неприводимое -мерное представление, которому соответствует полностью антисимметричный тензор Действительно, он имеет степени свободы. Необходимость этого тензора подсказывается также дуальной спинорной моделью [34].

Для ковариантного описания мы введем полностью антисимметричный безмассовый калибровочный потенциал аналогичный вектор-потенциалу в электромагнетизме, и потребуем, чтобы действие было инвариантно относительно аналогичных абелевых преобразований:

где калибровочный параметр. В кинетическом члене Лцур появится только в виде 4-формы тензора напряженностей Гцура где квадратные скобки означают антисимметризованную сумму по всем перестановкам индексов, деленную на 4.

Чтобы убедиться в корректности набора полей VV, для простой супергравитации с том, что, например, 84 скалярных поля вместо непригодны, мы можем редуцировать эти поля до Известно, что мы должны получить теорию супергравитации с 8 спинорными генераторами. Набор состояний М — -теории будет построен в следующем разделе. Ниже приведена множественность спинов полученных при редукции полей до в сравнении с составом полей расширенной супергравитации.

Мы видим, что наборы состояний согласованы. Но при срав нении двух теорий возникает очевидная проблема: -теория, которая была построена по теории возмущений до порядка включительно, имеет явную -инвариантность, в то время как теория, полученная редукцией из до имеет

лишь явную -инвариантность. Обе теории имеют 8 спинорных генераторов, так что их существенное различие неправдой подобно. Чтобы связать эти формулировки, нужно провести вольно сложные переопределения полей.

Теория строится с помощью обычной нётеровской процедуры, которая оканчивается в порядке в действии и порядке х в за конах преобразований. В формализме второго порядка, в котором связность юцаб явно выражена через мы получаем

Преобразования полей имеют вид

где

Величина является суперковариантным (т. е. преобра зующимся без членов де) обобщением связности И имеет тот же вид, что и в случае

Она отличается от значения со, которое получается в формализме первого порядка независимым варьированием со (и при замене на со в кинетическом члене поля Последнее равно

и не является суперковариантным объектом. Поэтому формализм первого порядка малопригоден в этой модели, за исключением группировки слагаемых таким образом, чтобы все -члены (четвертого порядка по полям) были спрятаны в

или Последний объект является суперковариантным обобщением и задается формулой

Уравнение движения для поля в этой теории имеет весьма простой вид

Геометрическая интерпретация Лцур как калибровочного поля этой теории еще не выяснена. В то время как соответствует локализации сдвигов, а суперпреобразований чему соответствует не известно.

На массовой оболочке алгебра, как обычно, замыкается, давая обще координатные преобразования, калибровочные преобразования на и преобразования суперсимметрии, зависящие от полей. Было бы интересно найти набор вспомогательных полей, с помощью которых алгебра замыкалась бы без использования уравнений движения.

Размерная редукция довольно сложна, и для сравнения ее результатов с -теорией нужны переопределения полей [49]. Сравнительно простая ее часть состоит в редукции эйнштейновского действия от измерений до 4. При этом полагают, что метрика не зависит от дополнительных координат и параметризуется в виде

При координатных преобразованиях в направлениях с параметрами, не зависящими от преобразуются как абелевых векторных полей:

Результат редукции имеет вид

где матрица обратна к а 4-мерные индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики часть действия описывает обычную гравитацию, взаимодействующую с абелевыми векторными полями и скалярами. Она имеет очевидную -симметрию и в случае сводится к обычной формулировке Калузы — Клейна [25] эйнштейновской гравитации, взаимодействующей с электромагнетизмом.

Обратимся теперь к рассмотрению теорий расширенной суперсимметрии и супергравитации, прямо сформулированных в

измерениях, а не полученных из простых суперсимметричных теорий в измерениях.