в. Суперсимметричная теория Янга-Миллса в D = 10 измерениях [16]

Для произвольной компактной калибровочной группы рассмотрим в измерениях теорию полей Янга—Миллса, взаимодействующих с майорана-вейлевскими спинорами в присоединенном представлении группы

Генераторы калибровочной группы удовлетворяют алгебре где структурные константы вещественны и полностью антисимметричны. Определим матрицы

Тогда

Действие имеет вид

Чтобы узнать, может ли такая теория быть инвариантной относительно суперсимметрии, сосчитаем число степеней свободы для бозонов и фермионов. Поскольку и те и другие находятся в присоединенном представлении, групповой индекс можно не принимать во внимание. Каждый векторный бозон на массовой оболочке является чисто поперечным вследствие калибровочной инвариантности и безмассовости и, таким образом, описывается степенями свободы. Каждый майорана-вейлевский спинор также имеет степеней свободы, как и должно быть.

Можно проверить, что действие на самом деле инвариантно относительно преобразований суперсимметрии

где

Доказательство инвариантности действия не очень сложно. При вариации полей возникают два вида выражений. Во-первых, это выражения вида возникающие при вариации и кинетического члена спинорных полей. Они взаимно уничтожаются с помощью интегрирования по частям и использования тождества

и тождества Бьянки

с учетом свойства майорановских спиноров . Второй вид выражений кубичен по фермионам; он возникает при вариации в минимальной связи со спинорами и оказывается пропорциональным Равенство нулю последнего выражения можно доказать с помощью преобразования Фирца

в котором использована антисимметричность структурных констант Под понимаются все антисимметризованные произведения Г-матриц, нормированные так, что Поскольку являются вейлевскими спинорами одного типа (правыми или левыми), то в дают вклад лишь причем вклад двух первых сортов Г-матриц, удваивается за счет двух последних. Для четных так что вклад от равен нулю. Наконец, равен нулю также и вклад от так как

Видно, что выражение симметрично по и его свертка с равна нулю. Окончательный результат преобразования Фирца имеет вид

То. же самое действие инвариантно относительно преобразований суперсимметрии для и вейлевских спиноров, а также для и майорановских или вейлевских спиноров [17].

Теперь легко редуцировать теорию от 10 к 4 измерениям и получить максимально расширенную суперсимметричную теорию с и 4 спинорными генераторами.

Введем 6 вещественных, антисимметричных матриц , удовлетворяющих алгебре :

Майорановское представление алгебры Клиффорда в измерениях записывается в виде

за исключением случая когда

В этом представлении майорана-вейлевский спинор в 10 измерениях имеет где и суть четыре обычных майорановских спинора.

Опуская всю зависимость от и переобозначая , мы находим среди дополнительных компонент три скаляра и три псевдоскаляра. Редуцированное действие в имеет вид

Эта теория имеет неминимальные связи типа Юкавы и пропорциональные соответственно. Потенциал имеет нетривиальные минимумы, так что симметрия может быть спонтанно нарушена, если скалярные поля получают ненулевые вакуумные ожидания. Замечательным свойством этой теории является равенство нулю функции Гелл-Манна—Лоу в одно- и двухпетлевом приближениях Возникает захватывающее предположение о точной масштабной инвариантности модели.

Помимо суперсимметрии лагранжиан инвариантен относительно глобальных преобразований группы

Где матрицы антисимметричны. Подгруппой коммутирующей с оператором четности, является просто

Усечением этой теории легко получаются теории для обладающие асимптотической свободой.

Модель которая может быть также получена из случая представляет особый интерес как суперсимметричное расширение модели Джорджи — Глэшоу. Она допускает классические решения, являющиеся суперсимметричными обобщениями магнитного монополя и диона. Квантовые поправки к массе монополя обращаются в нуль, по-видимому, во всех порядках [23,24].