7. Полное решение тождеств Бьянки при учете супергравитационных связей в суперпространстве

Р. Гримм, И. Весс, Б. Зумино

Grimm. R. and Wess J., Zumino В., Nuclear Phys., B152, 255 (1979)

Короткое обсуждение суперпространствениой формулировки супергравитации; исследуются тождества Бьянки. Накладываются супергравитационные связи и дается решение тождеств через суперполя и их ковариантные производные.

1. Введение

Супергравитация может быть определена как геометрическая теория в суперпространстве [1—4]. Преимущество такого подхода состоит в том, что имеется математический аппарат дифференциальной геометрии в суперпространстве, с помощью которого могут быть получены мультиплеты, образующие тензоры и тензорные плотности.

В работе [5] было показано, что все мультиплеты, использовавшиеся в компонентном формализме [6, 7], могут быть получены из суперполей, имеющих определенный геометрический смысл. Более того, тензорное исчисление в компонентном формализме есть непосредственное следствие суперполевой природы соответствующих величин. Динамика чистой супер гравитации может быть построена, исходя из лагранжевой плотности в суперпространстве, которая оказывается инвариантным элементом объема. Могут быть сконструированы суперковариантные контрчлены и записаны суперковариантные взаимодействия с полями материи [8].

Геометрическими тензорными величинами являются кривизна и кручение. С помощью этих величин могут быть сформулированы ковариантные уравнения. Есть два различных вида таких уравнений [4]. Уравнения одного вида органичивают число независимых компонентных полей, и из них не следуют какие-либо дифференциальные уравнения в четырехмерном х-пространстве. Эти уравнения называются суперпространственными

связями. Уравнения второго вида дают полевые уравнения для остающихся независимых компонентных полей. Это обычные полевые уравнения супергравитадии [3].

Разумно было бы начать с решения суперпространственных связей. Такой подход применил Зигель; он дал явное выражение связей через суперполя [9]. Это уменьшает число независимых компонентных полей и, следовательно, ведет к линейной зависимости известных тензорных величин — кручения и кривизны. Эти величины могут быть выражены через несколько тензорных суперполей и их комплексно-сопряженные. Более простой способ состоит в решении Тождеств Бьянки при учете связей. Таким способом можно найти явные выражения для кручения и кривизны через упомянутые выше тензорные поля.

В этой статье мы будем следовать второму подходу и дадим полный анализ тождеств Бьянки с наложенными связями.

Раздел 2 содержит краткое введение в дифференциальную геометрию в суперпространстве и вывод тождеств Бьянки. Тождества Бьянки решаются в разд. 3. Чтобы ближе познакомить читателя с используемой техникой, весьма подробно разбирается несколько примеров. В разд. 4 собраны результаты. Отдельные части этих результатов существенно использовались в работах [4, 5, 8—10], но до сих пор они не были систематизированы.