4. Сохранение вида представлений

Основная идея в алгебраическом осмыслении суперпространственных связей — сохранение вида представлений плоской суперсимметрии при обобщении группы инвариантности до локальной. Сохранение вида представлений в локальном случае является причиной успеха введения членов взаимодействия с использованием нетеровской процедуры, начиная с линеаризованного действия, инвариантного относительно плоской суперсимметрии. Более того, условие сохранения вида представлений автоматически удовлетворяет основному требованию, накладываемому на связи, — чтобы они не содержали уравнений движения. Это требование удовлетворяется, так как если связь содержит уравнение движения, то она должна содержать его и в линеаризованном виде, а в нем существование представлений обеспечивается тем, что линеаризованная теория инвариантна относительно плоской суперсимметрии.

При рассмотрении представлений глобальной суперсимметрии следует помнить, что имеется целое однопараметрическое семейство глобальных суперсимметрий, параметризованное радиусами ассоциированных суперпространств постоянной кривизны, в которых они действуют. Важно сохранить общие черты этого семейства, которое содержит все глобальные разновидности локальной суперсимметрии; это даже важнее сохранения специфичных предельных характеристик бесконечного радиуса или плоской суперсимметрии. Эта предосторожность необходима, так как имеются киральные представления плоской суперсимметрии, отсутствующие в общем ортосимплектическом случае [14].

В частности, для суперполя с внешним лоренцевым индексом типа уравнение

может быть решено в общем ортосимплектическом случае только тогда, когда не содержит индексов без точки, т. е. когда оно имеет лоренцев индекс типа

При обобщении глобальной суперсимметрии до локальной необходимо наложить ограничения на геометрические объекты, характеризующие локальное суп пространство, чтобы сохранить вид представлений. В том случае, когда линейное дифференциальное условие накладывается на суперполе с индексом,

а также когда имеется дифференциальное условие второго порядка, приходится принимать во внимание обычные условия на выбор связностей, которые появляются в ковариантных производных. В этих случаях не сразу ясно, как обобщить определяющие условия до локального случая.

Для того чтобы отделить требование сохранения вида представлений от детального выбора связностей, рассмотрим сначала простейшую форму общего скалярного суперполя, а именно киральное скалярное суперполе. Как мы уже объясняли в первом разделе, уравнение

имеет условия интегрируемости

Поскольку это соображение не использует формулы для связности Фмьс и для обратного репера с векторным индексом оно должно выполняться при любых заменах этих величин. Это подтверждается уравнениями (3.7), дающими законы преобразования при действии супергруппы Вейля и показывающими, что преобразования компонент кручения этого вида являются просто масштабными преобразованиями и не имеют вкладов от

Так как связи второго типа (4.2) независимы от суперполей которые определяются связями первого типа, то порядок, в котором накладываются связи первого и второго типов, несуществен. Именно эта независимость от порядка, в котором накладываются связи двух типов, позволяет сделать четкое различие между связями, сохраняющими вид представления, и стандартными связями.

До сих пор мы ограничивались рассмотрением киральной части общего скалярного суперполя. Важно также обеспечить сохранение вида других представлений ортосимплектической группы В работе [14] показано, что проекторы для разложения суперполя с лоренцевым индексом записываются в виде

где — обратный радиус антидеситтеровского пространства, являющегося пространственным сечением суперпространства постоянной кривизны, на котором определены суперполя. С помощью двух проекторов (4.3) можно написать определяющие дифференциальные условия для разложения суперполя с лоренцевым индексом Эти условия имеют следующий вид: линейное

киральное

Если суперполе не имеет индексов без точки, то условия (4.46) эквивалентны следующим:

Киральное скалярное представление — частный случай этого. Для суперполей, содержащих индексы с точкой, два условия (4.4 а, б) эквивалентны соответственно условиям

Напомним, что свободные индексы данного типа (с точкой или без точки) должны быть полностью симметричны в неприводимом представлении.

Рассмотрим теперь локальные аналоги глобальных ортосимплектических представлений. Нетрудно проверить, что операторы

удовлетворяют условиям идемпотентности и ортогональности, необходимым для проекторов; здесь

вообще говоря, не равен нулю. Для проверки того, что операторы (4.7) являются проекторами, необходимо использовать уравнения

являющиеся следствиями принятых нами связей первого и второго типов, получающимися при применении тождеств Бьянки в суперпрбстранстве. Доказательства уравнений (4.9) и (4.10) приведены в приложении. Таким образом, для данных внешних лоренцевых индексов типа две компоненты суперполя определены следующими условиями: линейным

киральным

Как и в глобальном случае, в применении к суперполю, не имеющему индексов без точки, условие (4.116) эквивалентно следующему:

В применении к суперполю, имеющему индексы с точкой, условия (4.11а), (4.116) эквивалентны условиям

Можно проверить, что требование сохранения вида этих высших представлений не накладывает новых связей. Уже принятые связи первого и второго типов достаточны для того, чтобы вывести все условия интегрируемости для уравнений (4.11), (4.12), (4.13) путем соответствующего использования тождеств Бьянки.

Здесь следует сделать замечание относительно причины, по которой при обсуждении сохранения вида представлений можно не ссылаться на связи первого типа. Причина эта состоит в том, что дифференциальные условия второго порядка и линейные дифференциальные условия на суперполя с индексами содержат связность Фдвс. Эта связность фиксируется выбором связей первого типа. Конечно, может быть сделан другой выбор стандартных связей с соответствующим изменением определяющих условий для высших представлений. Тогда эти определяющие условия будут содержать дополнительные члены, такие, как исчезающие в пределе глобальной симметрии. Этого нужно ожидать, поскольку переопределение полей для связности, соответствующей другому набору связей первого типа, требует именно таких членов. Связи первого типа, принятые в разд. 1, отличаются тем, что определяющие условия для высших представлений имеют в точности такую же форму, как и в пределе глобальной симметрии