6. Континуальное интегрирование

Можно надеяться, что интеграл для взятый по Н, т. е. по всем положительно полуопределенным метрикам на компактных многообразиях со всеми возможными топологиями, удастся аппроксимировать разложениями в окрестностях точек стационарной фазы, т. е. классических решений. Если параметр мал, то по мере удаления от стационарной точки действие претерпевало бы значительные вариации и можно предполагать, что основной вклад в интеграл по траекториям сосредоточен вблизи стационарных точек. Иначе обстояло бы дело при больших ; в этом случае разложения в ряд по теории возмущений в окрестности различных решений в различных топологиях скорее всего значительно перекрывались бы. Один из способов, возможно позволяющих преодолеть эту трудность, состоит в оценке интеграла (5.3), взятого по конформным множителям, на конкретном представителе класса конформной эквивалентности выделенного условием конформной калибровки где I — некоторая функция. Производя усреднение по всем калибровкам I с весовым множителем и вводя соответствующий определитель

Фаддеева — Попова, мы получили бы

где

Последний член в (6.2) включен для того, чтобы на классическом решении выполнялось равенство С возможным введением дополнительного члена это приводит к перенормируемому, по крайней мере формально, разложению в ряд по теории возмущений в окрестности классического решения. Члены фиксирующие калибровку, по-видимому, расходятся, если метрика становится вырожденной, и поэтому могут ограничить каждое разложение в ряд по теории возмущений единственной топологией. Этот подход (так же как и все действия с высшими производными) сталкивается с множеством проблем, поэтому в настоящей статье я буду оценивать просто в однопетлевом или в приближении. Как уже упоминалось, получаемая оценка должна быть разумна при малых , но я надеюсь, что она информативна и при порядка единицы. Вклад в от точки стационарной фазы или классического решения равен

где — однопетлевой член для гравитационных возмущений в окрестности решения. Поведение при изменении А определяется аномалией следа или поведением гравитационных возмущений с Л-членом при масштабных преобразованиях [9];

где

Таким образом, у имеет вид где . Такое поведение обусловлено тем, что на каждый инстантон приходится а дополнительных мод. Принятая нами картина пены заставляет ожидать, что будет пропорционален числу инстантонов Поэтому разумно, по-видимому, принять следующую зависимость:

где величина связана с однопетлевым нормирующим множителем, или регуляризатором

Если предположить, что позволяют классифицировать топологии и что при заданной эйлеровой характеристике х величина достигает максимума при то вклад в от метрик с эйлеровой характеристикой х оказывается порядка

Чтобы сумма величин по всем эйлеровым характеристикам х сходилась, параметр необходимо выбирать малым и отрицательным. Получающееся выражение для можно продолжить аналитически на положительные значения . Выполнив точно обратное преобразование Лапласа от (6.6), мы получим вклад в от метрик с эйлеровой характеристикой

Но зависимость от параметров станет более ясной, если обратное преобразование Лапласа вычислить по методу стационарной фазы. В действительности к большей точности не следует и стремиться, так как величина вычислена лишь в однопетлевом приближении. Точка стационарной фазы в интеграле (3.7) соответствует значению

Поскольку контур интегрирования должен проходить справа от сингулярности при то квадратный корень следует выбрать со знаком плюс. Поэтому величину необходимо продолжить аналитически от отрицательных значений , при которых она определена первоначально. Это аналитическое продолжение эквивалентно умножению метрики на мнимый конформный множитель. Такой множитель необходим для сходимости интеграла (5.3), взятого по конформным множителям.

Метод стационарной фазы дает оценку

Эйлерова характеристика, дающая основной вклад в определяется уравнением

Интегрируя, получаем

При из (6.11) следует а при имеем . И в том и в другом случае из (6.8) мы получаем оценку где с — некоторая функция от Она подкрепляет картину пространственно-временной пены, поскольку ее можно интерпретировать как утверждение, что главный вклад в число состояний дают метрики, в которых на объем приходится один гравитационный инстантон.

Величину можно рассматривать как форм-фактор, обрезающий логарифмически расходящийся однопетлевой член. Однопетлевой или квадратичный по возмущениям член в окрестности классического решения служит хорошим приближением лишь при больших длинах волн, но утрачивает точность при длинах волн, меньших планковской длины. Можно ожидать, что эти короткие волны подвержены сильным флуктуациям топологии, тогда как на расстояниях, превышающих масштаб планковской длины, флуктуации не сказываются сколько-нибудь заметным образрм на топологии. Следовательно, форм-фактор разумно выбрать порядка планковской длины. Как показывают приведенные выше вычисления, главный вклад дают метрики порядка одного гравитационного инстантона на единицу планковского объема. Однако к подобному выводу следует относиться с осторожностью, поскольку рассматриваемая нами ситуация находится на границе применимости ВКБ-приближения. Возможно, следовало бы принять иерархическую картину, в которой эффективная топология пространства-времени зависит от того, при каком увеличении мы рассматриваем картину. При малом увеличении топологии по существу нет, но при большом увеличении, позволяющем различать отрезки, длина которых меньше планковской, появляются все более и более сложные топологии.

В физике элементарных частиц такая картина пространственно-временной пены могла бы привести к предсказаниям, допускающим экспериментальную проверку. Инстантоны можно было бы рассматривать как виртуальные черные дыры, которые появляются и исчезают. Такие частицы, как барионы или мюоны, могут попадать в эти черные дыры и вылетать из них в виде элементарных частиц других разновидностей, создавая тем самым некий механизм барионного и мюонного распада. Амплитуды тех или иных реакций еще предстоит вычислить.