6. Заключение

Хотелось бы надеяться, что данный нами вывод связей для -супергравитации вскрывает общие алгебраические черты, характерные для всех теорий супергравитации. Основываясь на результатах настоящей работы, мы считаем, что для получения связей в теории расширенной супергравитации может быть предложена следующая программа:

1. Выбор стандартных связей, с помощью которых можно выразить возможно большее число компонент связностей и реперов.

2. Нахождение условий интегрируемости, необходимых для сохранения общей структуры представлений плоской суперсимметрии.

3. Частичное закрепление калибровки на супергруппе Вейля, которое должно быть ковариантно относительно лежащей в основе суперсимметрии Пуанкаре. При этом нужно принимать во внимание приводимость параметров супергруппы Вейля.

Уже сейчас можно наметить некоторые черты, характерные для теорий расширенной супергравитации. Мы вновь

подчеркиваем важность рассмотрения представлений плоской симметрии. В случае расширенных суперсимметрий необходимо включить центральные заряды. Это легко видеть при применении нашего метода вывода связей к случаю расширенной -суперсимметричной теории Янга — Миллса, для которой связи впервые были получены в работе [16]. Наименьший мультиплет -суперсимметрии - скалярный гипермультиплет [17], который обладает центральным зарядом [18] и, более того, вообще не существует, если отсутствует центральный заряд [19]. Он описывается суперполем которое является изоспинором относительно лоренцевым скаляром и удовлетворяет дифференциальным условиям [19]

где

с учетом того, что

Для описания -суперсимметричной теории Янга — Миллса мы распространяем обычные суперсимметричные ковариантные производные и делаем их ковариантными в смысле теорий Янга — Миллса:

где А теперь пробегает 4 бозевских и 8 фермиевских значений, а А в принимает значения в алгебре Ли. Однако при наличии калибровочного поля следует соответственно видоизменить определяющие условия (6.1). В калибровочной теории условия интегрируемости могут быть получены следующим образом. Применим еще одну ковариантную производную к янг-миллсовской ковариантной версии (6.1а), симметризуем по и затем возьмем циклическую сумму по Поскольку — произвольные функции, нетрудно видеть, что возникающее уравнение может быть удовлетворено только в том случае, когда напряженности поля подчиняются соотношению

Аналогично, применяя к янг-миллсовской версии (6.16) и затем производя в точности такую же симметризацию, получаем

Применяя далее к янг-миллсовской версии (6.1а) и к янг-миллсовской версии (6.16) (переставляя ), складывая и, наконец, циклически суммируя по находим

где

Найденные три условия (6.3) являются связями, сохраняющими вид представления для -суперсимметричной теории Янга — Миллса. Интересно отметить, что в этом случае одна из связей, сохраняющих вид представления (б.Зв), содержит одновременно лоренцевы индексы с точкой и без точки. -теории соответствующие связи со смешанными индексами стандартны. Но в данном случае векторная компонента калибровочного поля содержится только в следе по от Таким образом, стандартные связи для -суперсимметричной теории Янга — Миллса записываются в виде

Связи (6.3) и (6.4) вместе образуют набор связей для -суперсимметричной теории Янга — Миллса, полученный впервые в работе [16]. Следует отметить, что в нашем выводе существенным было рассмотрение в качестве основного представления -представление с центральным зарядом.

В настоящее время мы обобщаем выводы, приведенные здесь для связей в -супергравитации и в -суперсимметричной теории Янга — Миллса, на недавно полученные [21] связи в -супергравитации. Результаты будут представлены в отдельной публикации.

Мы весьма признательны Ренате Каллош и Мартину Рочеку за содействие, оказанное в ходе многих обсуждений во время выполнения этой работы. Последние два автора хотят выразить благодарность фонду Наффилда и профессору Стивену Хокингу из Кембриджского университета за поддержку и гостеприимство во время Наффилдовского рабочего совещания по квантовой гравитации в июле и августе 1979 г. Мы все рады выразить благодарность организаторам рабочего совещания по супергравитации в Стони Брук, где докладывалась данная работа, и профессорам Ч. Н. Янгу и Питеру ван Нивенхийзену за гостеприимство в Стони Брук.