г. U(N)-инвариантность в расширенных супергравитациях

Согласно теореме Хаага — Лопушанского — Сониуса [35], глобальной группой инвариантности суперсимметричной теории с спинорными зарядами и безмассовыми частицами должна быть исключая случай в котором ей может быть либо либо Примером последнего варианта является -суперсимметричная теория Янга — Миллса, инвариантная относительно но не относительно

С другой стороны, расширенные супергравитации строятся явно -инвариантным способом, так что должен существовать способ расширения глобальной -инвариантности до

Простая супергравитация действительно оказывается инвариантной относительно глобальных киральных преобразований:

где — инфинитезимальная постоянная; -супергравитация обладает явной О (-инвариантностью, которая легко

может быть расширена киральными преобразованиями до

где Чтобы расширить до необходимо добавочное -преобразование

Оно оставляет инвариантным кинетический член поля но, как видно из для инвариантности нетеровской связи одновременно необходимо преобразование дуальности для

Однако преобразования дуальности требуют осторожного обращения. Рассмотрим, например, свободное максвелловское поле. Полагая предполагая, что существует соответствующее преобразование для вектор-потенциала, получаем, что является ротором и, следовательно, т. е. поле должно удовлетворять уравнениям движения.

Таким образом, преобразования дуальности оставляют вариантным не действие, но только уравнения движения.

В расширенной -супергравитации потенциал в явном риде не появляется, и векторное уравнение движения имеет вид

где члены, квадратичные по и

Это условие означает, что представим в виде ротора. Преобразование

очевидно, совместно с а небольшие вычисления показывают, что вариация уравнения движения пропорциональна

Все остальные уравнения движения действительно -инвариантны. Этот факт обобщается на все известные расширенные -супергравитации, в которых глобальная -инвариантность реализуется с помощью киральных и дуальных преобразований. Эта инвариантность интенсивно использовалась при построении -теории, а также в пертурбативном подходе к -супергравитации.

Преобразование дуальности суперковарианта Р имеет весьма простой вид

Действие -супергравитации приобретает более сжатый вид, если оно записано через (тензор, определяющий векторное уравнение движения) и причем так, что все члены четвертого порядка включены либо в либо в Р:

В общем случае преобразования, расширяющие до включают преобразования дуальности и могут рассматриваться только при условии, что выполнены векторные уравнения движения. Одним исключением является -теория, в которой расширяется до без использования преобразований дуальности. Другим исключением является так называемая -теория [8], содержащая поля , в которой -инвариантность реализуется без преобразований дуальности. Выпишем несколько первых членов действия этой теории [8]:

где

На первый взгляд и -теории существенно различны. -теория обладает явной -инвариантностью, неполиномиальна по полям А и В, область значений которых ограничена неравенством -теория обладает явной -инвариантностью, неполиномиальна по и полиномиальна по область значений и В не ограничена. В действительности можно показать, что эти теории эквивалентны на классическом уровне в том смысле, что с помощью комбинаций дуальных и киральных преобразований, переопределений

скалярных полей уравнения движения обеих теорий могут быть сведены друг к другу. Однако вследствие возможных аномалий не совсем ясно, эквивалентны ли они на квантовом уровне; кроме того, преобразования дуальности для вектор-потенциалов нелокальны.

Аналогичные (и более сложные) преобразования встречаются при нахождении соответствия между -теорией и размерной редукцией -супергравитации, также имеющей 8 спинорных зарядов с явной -инвариантностью

Удивительный факт, плохо понимаемый до сих пор, состоит в том, что в случае -инвариантность может быть расширена до . В -теории имеется скрытая -инвариантность, перепутывающая сложным образом поля кроме того, имеются два простых преобразования, которые вместе с генерируют группу Это

б) масштабное преобразование (а — константа),

В -теории эти преобразования легко видны на примере кинетического члена скалярных полей

где инвариантен относительно преобразований

Остается неясным, как обобщить эту инвариантность на случай высших расширенных супергравитаций, особенно -теории.