Лекция 4. Супергравитация

Можно ожидать, что в суперсимметричной калибровочной теории токи суперсимметрии являются источниками полей: тензор энергии-импульса — источник гравитонов, спин-векторный ток — источник частиц спина 3/2. Следовательно, формулировка супергравитации потребует по меньшей мере одного поля спина 2 и одного поля спина 3/2; такую теорию, действительно, можно построить. Мы разовьем ее с помощью общих методов дифференциальной геометрии.

Обобщенная тетрада вводится как независимая переменная, так же как и форма связности Нашей основной задачей будет нахождение ковариантных уравнений, сводящих число независимых компонент полей только к одному полю спина 2 и одному — спина 3/2. Относительно общекоординатных преобразований

Е и Ф преобразуются следующим образом;

Теперь необходимо выбрать структурную группу, под действием которой форма тетрады и форма связности преобразуются следующим образом:

Мы знаем, что принимает значения в алгебре Ли. Чтобы уменьшить, насколько возможно, число независимых полей, мы

выберем наименьшую возможную структурную группу — саму группу Лоренца. Параметры преобразований суть произвольные функции от При таком выборе -матрица содержит только 6 независимых суперполей. Первое и второе структурные уравнения определяют кручение и кривизну:

Форма кривизны также принимает значения в алгебре Ли. Подробнее эти уравнения записываются в виде

Чтобы как-то представить себе характер разыскиваемых нами уравнений, вычислим кручение для плоского пространства: Получим

Все остальные компоненты кручения нулевые. Можно попытаться постулировать эти уравнения и для общего случая:

остальные компоненты нулевые. Для нашего выбора структурной группы эти уравнения ковариантны. Можно, однако, показать, что они имеют единственное решение — плоское пространство Следовательно, нужно ослабить наши уравнения. Линеаризовав уравнения поля подстановкой

и явно их решив, можно показать, что из уравнений

следуют только алгебраические соотношения. Это сводит число динамических независимых полей в точности к одному полю спина 2 и одному — спина 3/2. Но можно решить и полные, нелинеаризованные уравнения. Можно рассуждать так. Выберем

специальную калибровку, в которой при тетрада и связность принимают вид

Поля должны быть отождествлены с обычной тетрадой 4-пространства, полем Рариты — Швингера и связностью соответственно. Уравнения поля определяют высшие члены по степеням через только что введенные физические поля и через произвольные калибровочные поля, не имеющие физического смысла. Эти методы позволяют вычислить Е и Ф за конечное число шагов, поскольку имеется лишь конечное число мономов по отличных от нуля. Но мы не будем здесь этим заниматься, а попытаемся продемонстрировать физическое содержание теории, вытекающее из наших уравнений и тождеств. Уравнение

определяет динамику в х-пространстве.

Заметим, что из компонент кручения только еще не определены. Равенство их нулю означало бы, что мы имеем дело с плоским пространством. Пусть

— кручение с мировыми индексами Из наших уравнений можно получить

Мы видим, что в нашей специальной калибровке

Это связывает кручение в 4-пространстве со спиновой плотностью поля Рариты — Швингера. Далее

где нужно выразить через тетраду и связность в силу первого структурного уравнения:

Интересующая нас компонента равна

Кроме того,

так как принимает значения в алгебре Ли. При в выбранной нами калибровке получаем

здесь появилась обычная ковариантная производная -пространства. В дальнейших выкладках потребуются тождества Бьянки

Более подробно их можно записать в следующем виде:

где — ковариантная производная, например

В мои намерения не входит выписывать все компоненты этих тождеств — это могло бы не понравиться издателям. Я приведу только те, которые мне пригодятся в этой лекции. Положим соответствующие компоненты кручения равными нулю, получаем

Из (1) следует

поскольку принимает значения в алгебре Ли, а наша группа Ли — группа Лоренца. Для это уравнение в выбранной нами калибровке есть уравнение Рариты — Швингера. В самом деле, при получаем

превращается в

Это и есть уравнение Рариты — Швингера. Чтобы вывести уравнения Эйнштейна, нам понадобятся следующие соотношения:

Соотношение следует из тождества (2); следует из следует из и (3). Осталось доказать Из (6) мы видим, что антисимметричен по и у, отсюда

Из следует таким образом,

Из (6) и свойства (алгебра Ли) следует

Мы должны вывести отсюда Используем снова тот факт, что принимает значения в алгебре Ли:

и из получаем

Отсюда, а также из и (7) получаем

Из этого соотношения, свойства и из (7) следует

где полностью симметричен. Это в свою очередь означает, что

откуда вытекает

Покажем теперь, как из соотношений получается уравнение Эйнштейна. Имеем

Из структурного уравнения находим

Поэтому при мы получаем

— обычный тензор кривизны -пространства. С другой стороны,

так как из следует При используя также получаем

Используем теперь матрицу, обратную к тетраде и соотношения В очевидных обозначениях для -пространства

мы получим уравнение Эйнштейна

Напомним, что мы уже вывели равенство

Таким образом, мы получили динамические уравнения супергравитации, т. е. уравнение Эйнштейна, уравнение Рариты — Швингера и связь между кручением и плотностью спина в форме, впервые полученной Дезером и Зумино в их статье по

супергравитации. Мы достигли этого результата, используя только геометрию суперпространства.

Я хочу поблагодарить Ричарда Гримма за полезные обсуждения и за чтение рукописи.

Обозначения

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)