5. Пространственно-временная пена

Теперь я вернусь к вопросу о том, как трактовать классы конформной эквивалентности метрик на компактном многообразии М, обладающие отрицательными или нулевыми

собственными значениями конформно инвариантного оператора . В этих случаях асимптотически евклидов представитель класса конформной эквивалентности, который имеет и является точкой стационарной фазы относительно конформных преобразований, сингулярен и содержит область, обрезанную нулевым конформным множителем. С другой стороны, в этом же классе конформной эквивалентности можно найти компактную метрику с где — положительная константа. Метрику можно нормировать, потребовав, чтобы ее 4-объем был равен единице.

Значимость метрик обусловлена тем, что они являются точками стационарной фазы относительно конформных преобразований в объемном каноническом ансамбле, определение которого будет дано ниже. Физическая идея состоит в том, что в квантовой теории гравитации приходится суммировать по метрикам с весьма сложной топологией. Такая «пеноподобная структура» [24] простирается всюду, поэтому пространство-время на самом деле нельзя считать асимптотически евклидовым, хотя такая точка зрения удобна при интерпретации амплитуд как элементов -матрицы.

Чтобы все величины оставались конечными, удобно рассматривать компактные метрики с некоторым заданным большим значением 4-объема V. Это отнюдь не означает, что пространство-время непременно компактно, а представляет собой всего лишь удобный способ введения нормировки, аналогичный периодическим граничным условиям в обычной квантовой механике. Мы хотели бы вычислить плотность тех или иных величин, приходящуюся на единичный объем, а затем перейти к пределу при V, стремящемся к бесконечности.

Чтобы ограничить 4-объем, добавим к гравитационному действию член где Л — множитель Лагранжа. Этот дополнительный член имеет такой же вид, как и космологический член, хотя введен по иным мотивам и имеет совершенно иное значение: как показывают наблюдательные данные, любой космологический член должен быть настолько малым, что величиной его практически можно пренебречь; в то же время множитель Лагранжа, как мы покажем, дает основной вклад, если он имеет величину порядка единицы в единицах Планка. Составим статистическую сумму для того, что я называю объемным каноническим ансамблем [25], взяв континуальный интеграл по всем компактным положительным полуопределенным метрикам:

где действие включено в -член. Статистическая сумма есть преобразование Лапласа от — числа состояний

гравитационного поля, заключенных в интервале от V до

Следовательно, — обратное преобразование Лапласа:

где контур выбран параллельно мнимой оси и справа от осог бенности в при При таком выборе контура при .

Интеграл (5.1) для допускает разложение на интеграл, взятый по конформным множителям принадлежащим одному классу конформной эквивалентности тетрадных полей:

от которого в свою очередь берется континуальный интеграл, распространенный на классы конформной эквивалентности:

При конформном преобразовании действие (включая Л-член) переходит в

Таким образом, можно рассматривать как среднее в теории по всем классам конформной эквивалентности метрик, Точкой стационарной фазы в интеграле (5.4) по конформным множителям является метрика в которой

Величина зависит от класса конформной эквивалентности и стационарна на тех классах эквивалентности, для которых — решение уравнений Эйнштейна с -членом:

На компактных многообразиях, таких, как несколько решений известно в явном виде. Но действительный интерес представляют решения на очень сложных (щюсвязных многообразиях с большой эйлеровой характеристикой и сигнатурой. Хотя нельзя надеяться, что таие метрики удастся прочить в явном виде, действие метрик со сложной топологической

структурой все же удается оценить. Для решения уравнений (5.7) получаем

Комбинируя соотношения (5.8) и (5.9), приходим к неравенству

равенство имеет место в том и только в том случае, если тензор Вейля автодуален или антиавтодуален.

Нижняя граница величины для решений уравнений (5.7) равна т. е. равна значению для стандартной метрики на Если и если многообразие допускает спинорную структуру, то . Соотношения (5.8) и (5.9) позволяют ожидать, что при больших эйлеровых характеристиках где Эта оценка подтверждается несколькими примерами, построенными Хитчином, из которых следует, что большинство решений заключено в интервале

Можно надеяться, что значение статистической суммы удастся получить, разлагая метрику или тетраду в ряд теории возмущений в окрестности каждого решения классических полевых уравнений. При малых Л действия таких решений четко разделены, и мы получаем хорошее «приближение разреженного газа». Но при больших Л флуктуации вокруг одного решения могут изменить топологию и наложиться на флуктуации вокруг другого решения; этот эффект не будет подавлен, поскольку он не увеличивает сколько-нибудь значительно действие. Один из способов, позволяющих избежать наложения флуктуаций, состоит в добавлении к действию члена фиксирующего конформную калибровку, в которой вычислен континуальный интеграл (5.4), взятый по конформным множителям. При этом интеграл для принимает следующий вид:

где

Член в (5.12) — дух Фаддеева — Попова, а последний член в (5.13) введен для того, чтобы член, фиксирующий

калибровку, обращался в нуль на решении В отличие от действия член определяющий калибровку, по-видимому, не остается ограниченным, когда метрика меняет топологию, проходя через вырожденную метрику. Это могло бы ограничить разложение в ряд по теории возмущений топологией того решения, в окрестности которого производится разложение, и воспрепятствовать наложению на разложения в ряд по теории возмущений, производимые в окрестности других рещений. Таким образом, обращение члена в бесконечность могло бы привести к разложению в ряд теории возмущений, которое по крайней мере формально перенормируемо. То обстоятельство, что это был лишь член, задающий калибровку, а не часть самого действия, возможно, позволит избежать некоторых патологий, связанных с такими членами.

Намеченный нами подход не привел пока к каким-либо новым результатам. Тем не менее ничто не мешает оценить обычный однопетлевой член в окрестности решения с эйлеровой характеристикой х

где у — проинтегрированная аномалия следа для гравитации [26]:

а величина связана с нормировочной константой Таким образом, метрика с эйлеровой характеристикой дает вклад в вида

где Это дает точку стационарной фазы в обратном преобразовании Лапласа (5.3) для при где

Сравнивая вклады от метрик с различными мы видим, что основной вклад соответствует соотношеш

При ему удовлетворяет т. е. на планковский объем приходится одна единица эйлеровой характеристики или один гравитационный инстантон.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)