2. Дифференциальная геометрия в суперпространстве и тождества Бьянки

Дифференциальная геометрия в суперпространстве базируется на понятии суперпространства [11] и, как принято в дифференциальной геометрии, на понятии репера (фильбайна) и связности. Одной из задач дифференциальной геометрии является конструирование из реперов, связностей и их производных таких объектов, которые преобразуются как тензоры при действии общекоординатных преобразований. Важным инструментом таких конструкций являются дифференциальные формы и внешние производные [12].

Элементы пространства обозначим где — набор антикоммутирующих переменных. Индексные обозначения обычные: латинские буквы обозначают лоренцев тензорный индекс, греческие буквы — лоренцев спинорный индекс, прописные буквы обозначают суперпро-странственный индекс.

Репер связывает мировые индексы из середины алфавита) с индексами касательного пространства из начала алфавита). Предполагается, что репер обратим:

Мы будем использовать следующее правило суммирования:

Кроме репера мы вводим связность Связность принимает значения в алгебре Ли. Это означает, что Ф как матрица с двумя индексами А и В касательного пространства есть элемент алгебры Ли структурной группы.. В качестве структурной группы мы выберем группу Лоренца, следовательно,

Остальные компоненты связности, такие, как Фмоа, Фунай, нулевые. Трансформационные свойства при действии общекоординатных преобразований таковы:

В качестве структурной группы выбрана группа Лоренца:

Матрица подчинена условиям (1), поэтому принимает значения в алгебре Ли.

Связность позволяет определить ковариантные производные

Легко проверить, что если — тензоры, то тоже являются тензорами.

Определим теперь тензоры кривизны и кручения. Для этой дели удобно ввести форму, соответствующую реперу, и форму связности Кручение определяется через внешнюю производную формы репера:

а кривизна — через внешнюю производную формы связности:

Из определения следует, что как матрица с индексами А, В, принимает значения в алгебре Ли. Нетрудно явно проверить, что кручение и кривизна являются тензорами по отношению к группе Лоренца касательного пространства. Эти тензоры приводимы, и любая неприводимая часть может независимо использоваться при формулировке ковариантных уравнений.

Упомянутые вышесуперпространственные связи имеют вид

Из условия следует, что удовлетворяют некоторым тождествам (тождествам Бьянки)

или в более подробной записи

Мы собираемся показать, что эти тождества с учетом связей (7) допускают явное решение. Это решение зависит от суперполей и их ковариантных производных. Знание явной формы ковариантной производной не необходимо для решения; вся нужная информация описывается коммутационным соотношением

Это соотношение может быть выведено из определения ковариантной производной (4) и из определения кручения (5) и кривизны (6). В этом соотношении обе части рассматриваются как операторы, применяемые к тензорам; точки в (10) означают, что находится в соответствующем представлении алгебры Ли. Прежде чем находить решения тождеств (8), нам нужно разложить их в неприводимые (по отношению к группе Лоренца касательного пространства) уравнения. Это дает тридцать уравнений, но некоторые из них являются комплексно-сопряженными друг другу, некоторые тождественно равны нулю вследствие связей (7). Остаются следующие тождества:

Разрешая эти тождества, мы часто будем пользоваться тем, что и определены через 2-формы и, следовательно, имеют определенные свойства симметрии по индексам А, В. Кроме того, принимает значения в алгебре Ли по С, D.