3. Решение тождеств Бьянки

Будем решать уравнения (11) — (23). Сначала попробуем разрешить линейные уравнения, а именно те из них, которые не содержат производных. Это уравнения (11), (12), (13), (17), (18), (21) и (23). Начнем с уравнения (17) и перепишем его в спинорных обозначениях

В спинорных обозначениях тот факт, что кривизна принимает значения в алгебре Ли, выражается следующим образом:

где симметричны по соответственно. Кроме того, они симметричны по вследствие определения как 2-формы. Уравнение (17) принимает вид

Разложим на части с определенной симметрией по отношению к перестановке индексов — с точкой и без точки по отдельности (подчеркивание указывает на симметрию):

Умножив уравнение (17) на получим Выпишем часть уравнения (17), симметричную по

Умножая на получаем умножая на получаем следовательно,

Уравнение (26) приводится к виду

и из (17) следует

Уравнения (27) и (28) суть общие решения тождества (17); они дают также решение тождества (13).

Аналогичный анализ тождеств (12), (18) и их комплексносопряженных дает

Уравнение (29) дает также решение тождества (11).

Тождество (21) позволяет выразить через компоненты кручения Тасф:

Тождество (23) — такое же, как в обычной гравитации, его следствия хорошо известны [13]; в спинорных обозначениях

Тождество (23) эквивалентно следующим:

Таким образом, тождества без производных разрешены. Теперь будем разрешать линейные тождества, которые содержат производные; это тождества (14) — (16).

Подставляя (27) в (16), найдем

Решение тождества -более утомительное дело. Компонента кривизны с помощью (30) и соотношений алгебры Ли выражается через Поэтому тождество (14) сводится к уравнению, связывающему и производные Туеа, которые в свою очередь выражаются через с помощью уравнения В спинорных обозначениях тензор

может быть разложен на неприводимые части

В этих уравнениях W произвольно, и тбуф выражаются через производные Окончательно получаем

Тождество (15) связывает те же компоненты кривизны и кручения. Оно совместно с (34) только в том случае, если

Мы разрешили все линейные соотношения. Нелинейные тождества (19), (20), (22) либо дают выражение некоторых

компонент кручения и кривизны в виде нелинейных комбинаций ковариантных суперполей и либо могут быть сведены к линейным с использованием коммутаторов ковариантных производных (10). Тождество (19) позволяет выразить и в (31) через компоненты кривизны и их производные, которые уже выражены через и Например,

Это выражение уже симметрично по Оно должно быть симметрично также по , что дает условие

Здесь мы использовали тот факт, что

вследствие (35), (10) и связей (7). После некоторых алгебраических преобразований мы приходим к результату

Соответствующий результат для приведен в разд. 4. Нужно заметить, что удовлетворяют условиям (32а) и (326), выведенным из тождества (23). Наконец, рассмотрим тождество (20). Выразим кручение через и с помощью (34), (29) и (27). Все члены, кроме одного, пропорционального содержат тензор и обращаются в нуль после симметризации по всем индексам. Это дает условие

При выполнении этого условия (20) и (22) удовлетворяются тождественно. Проверка этого требует длинных вычислений, в которых существенно используются связи (7) и коммутационные соотношения (10).