9. Нелокальные законы сохранения для автодуальных калибровочных полей Янга — Миллса

В этом последнем разделе мы строим бесконечное множество нелокальных законов сохранения для автодуальных калибровочных полей, используя явную калибровочную инвариантность формализма разд. 8. Известно, что такие законы сохранения могут быть использованы в контексте солитонов (см. список литературы), и есть надежда, что они прольют свет на скрытые симметрии автодуальных калибровочных полей.

Под законом сохранения мы просто понимаем уравнение вида Строго говоря, так как мы работаем в евклидовом пространстве, такое уравнение следовало бы называть урав

нением непрерывности. В комплексных координатах разд. 8 имеем

так что уравнение автодуальности (8.1.11)

в действительности является законом сохранения (для статических полей

Недавно было обнаружено, что из уравнения (9.2) в самом деле можно построить бесконечное множество нелокальных законов сохранения. Построение производится следующим образом. Предположим, что мы уже построили закон сохранения

Из уравнения (9.3) следует, что существует такая матрица второго порядка , что

Тогда закон сохранения определяется следующим образом:

Доказательство проводится индукцией: — I затем Для доказательства (9.5) заметим следующее:

Равенства (9.8) и (9.9) следуют из уравнений (9.2) и (9.4) соответственно, в то время как в равенстве (9.10) мы использовали предположения индукции (9.6) и (9.7). Таким образом, мы построили бесконечное множество нелокальных (так как — нелокальная функция законов сохранения для автодуальных калибровочных полей в терминах эрмитовой и калибровочно инвариантной матрицы Значение этих законов сохранения еще должно исследовано.