2. Пространственно-временная пена

С. У. Хокинг

Hawking S. W., Nuclear Phys., В114, 349 (1978)

1. Введение

Уилер [1] заметил, что в квантовой теории гравитации на мелкомасштабных расстояниях следует ожидать очень больших флуктуаций метрики и даже топологии пространственно-временного многообразия. Объясняется это тем, что в отличие от действия для полей Янга — Миллса или электромагнитного действие для гравитационного поля не обладает масштабной инвариантностью. Это означает, что сильные флуктуации метрики на мелкомасштабных расстояниях не обладают очень большим действием, поэтому их вклад в континуальный интеграл не подавлен. Более того, метрика может изменить топологию, даже если действие не возрастает больше, чем на произвольно малую величину. В этом можно убедиться с помощью исчисления Редже [2]. По схеме Редже пространственно-временное многообразие разлагают в симплициальный комплекс. Каждый 4-симплекс считается плоским и определяется длинами ребер (-симплексов). Однако углы между гранями (-симплексами) в общем случае таковы, что 4-симплексы невозможно объединить в плоское 4-мерное пространство. Таким образом, существует некое искажение, представимое в виде -функции, сосредоточенной на гранях. Полное действие имеет вид

где сумма берется по всем симплексам, — площадь -симплекса, — дефект -симплекса, т. е. минус сумма углов между -симплексами, примыкающими к -симплексу.

Симплициальный комплекс, на котором действие стационарно относительно малых вариаций длин ребер, можно рассматривать как дискретную аппроксимацию гладкого решения уравнений Эйнштейна. Вместе с тем можно считать, что исчисление Редже определяет действие на некотором классе метрик точно, без какой бы то ни было аппроксимации. Такое действие

остается хорошо определенным и конечным, даже если длины ребер выбраны так, что некоторые симплексы вырождаются в симплексы меньшей размерности. Например, если с — длины сторон треугольника (ребра 2-симплекса), то они должны удовлетворять неравенствам Если , то 2-симплекс вырождается в 1-симплекс. В общем случае симплициальный комплекс перестает быть многообразием при вырождении некоторых симплексов в симплексы меньшей размерности, но действие остается вполне определенным. «Раздув» некоторые из симплексов так, чтобы они превратились в симплексы большей размерности, можно получить новое многообразие с другой топологией. Раздувая и схлопывая симплексы, мы можем непрерывно переходить от одной метрической топологии к другой, причем действие будет неизменно оставаться конечным. С иной ситуацией мы столнулись бы, если бы гравитационное действие содержало, как предлагали некоторые авторы, члены, квадратичные по кривизне. Однако такого рода дополнительные члены, видимо, обладают весьма нежелательными свойствами [3].

Так мы приходим к картине, которую Уилер назвал «пеной» и в которой пространство-время на крупномасштабных расстояниях представляется гладким и почти плоским, но на мелкомасштабных расстояниях порядка планковской длины сильно искривлено и наделено всевозможными топологиями. В этой статье я попытаюсь построить математическую схему для описания такой пеноподобной структуры пространства-времени. Я буду использовать подход, основанный на континуальном интеграле, так как, насколько можно судить, только такой подход позволяет справиться с нетривиальными топологиями [4—6]. Чтобы улучшить сходимость континуального интеграла, я буду работать в «евклидовом режиме», т. е. вычислять интеграл по всем положительно определенным метрикам, а полученные результаты в случае необходимости продолжать аналитически в лоренцев режим. Поскольку пена, по-видимому, простирается повсюду, асимптотически евклидовы метрики, т. е. метрики, стремящиеся к плоской метрике на вне некоторой ограниченной области, непригодны. Чтобы избежать необходимости вводить граничные члены в действие [4] и все же обеспечивать конечные метрики с конечным действием, я буду рассматривать только компактные многообразия. Этим я отнюдь не утверждаю, что реальное пространственно-временное многообразие чепременно должно быть компактным. Рассмотрение компактных многообразий — не более чем удобный прием введения нормировки, аналогичный введению «ящика» конечных размеров с периодическими условиями на стенках в обычной квантовой механике. Компактные многообразия позволяют вычислять плотность некоторых величин в единичном 4-объеме пространства-времени,

а затем переходить к пределу при 4-объеме V, стремящемся к бесконечности. Для этого к обычному гравитационному действию удобно добавить член типа источника где — множитель Лагранжа. Коэффициент выбран из соображений удобства. Этот член имеет такой же вид, как и обычный космологический член, хотя он включен в действие по совершенно иным мотивам и принимает другое значение: как показывают наблюдательные данные, любой космологический член настолько мал, что величиной его почти всегда можно пренебречь, в то время как множитель Лагранжа дает главный вклад, если он отрицателен и имеет величину порядка 1 в единицах Планка. В некоторых теориях супергравитации [7, 8] члены с имеют тот же знак, что и у нас, и принимают значения, связанные со значениями констант связи векторных частиц. Поэтому некоторые идеи данной статьи могут найти применение в этих теориях.

Можно надеяться, что главный вклад в континуальный интеграл будут давать метрики вблизи точек стационарной фазы действия, содержащего -член. Это приводит к рассмотрению положительно определенных метрик, удовлетворяющих уравнениям Эйнштейна с -членом на компактных многообразиях с очень сложными топологиями. При больших значениях эйлеровой характеристики решения, по-видимому, существуют только при отрицательных (со знаком, противоположным знаку для и действие для таких решений имеет величину порядка На интуитивном уровне эту оценку можно интерпретировать как сумму действий х «гравитационных инстантонов», каждый из которых обладает действием порядка Поскольку вид конформной аномалии известен [9], можно оценить однопетлевые члены. В случае чистой гравитации эти оценки позволяют предположить, что главный вклад в континуальный интеграл дают метрики с эйлеровой характеристикой порядка V, т. е. дающие один инстантон на единицу планковского объема. В случае теорий супергравитации с -членом удается определить предпочтительное значение для константы связи е.

План настоящей статьи заключается в следующем. В разд. 2 рассматривается топология компактных 4-мерных многообразий. Односвязные многообразия со спинорной структурой, по-видимому, допускают классификацию по эйлеровой характеристике х и сигнатуре т. В разд. 3 вводится объемный канонический ансамбль и определяются статистическая сумма и плотность состояний . В разд. 4 рассматриваются классические решения уравнений Эйнштейна с -членом. Вычисляются границы и оценки для действия решений с большими значениями эйлеровых характеристик. В разд. 5 приведено разложение континуального интеграла, взятого по всем метрикам, на

интеграл по конформным множителям, который в свою очередь интегрируется по классам конформной эквивалентности метрик. Точками стационарной фазы при первом интегрировании являются метрики с а при втором интегрировании — классические решения. В разд. 6 вычислена оценка континуального интеграла для в однопетлевом приближении. Из нее следует, что главный вклад в число состояний с заданным объемом V дают эйлеровы характеристики порядка V, т. е. эйлеровы характеристики, соответствующие одному гравитационному инстантону на единицу планковского объема. В разд. 7 рассмотрены теории супергравитации с внутренней симметрией. Континуальный интеграл достигает максимума при некоторых «избранных» значениях констацты связи.