4. Гравитационные инстантоны: обзор

Г. В. Гиббонс

Gibbons G. W, Lecture Notes in Physics, 116 (1979)

Определение 1. Гравитационным инстантоном называется полное четырехмерное риманово многообразие (сигнатуры без особенностей, которое удовлетворяет уравнениям Эйнштейна:

Считается, что гравитационные инстантоны дают основной вклад в континуальный интеграл евклидовой квантовой гравитации [1—6]. Он определяется выражением вида

Здесь обозначает евклидово действие некоторого многооб разия М с границей на которой метрика индуцирует метрику — след второй фундаментальной формы обозначает граничные условия, которым должны удовлетворять метрики в соответствии с выбором квантовомеханического состояния или матрицы плотности, — функционал от метрики, среднее значение, или матричный элемент которого дается выражением (1).

Ниже я буду рассматривать некомпактные многообразия как предел компактных многообразий с границей, когда граница удаляется на бесконечность. (При границы нет [31]. При многообразие может иметь, самое большее, один «конец» или «бесконечность» (Н. Хитчин, частное

сообщение).) «Интеграл» в (1) взят по всем возможным многообразиям и топологиям, удовлетворяющим условиям Буквой Ко обозначен поправочный член, который призван обратить В нуль Действие любой плоской метрики, удовлетворяющей условиям Для физических приложений важны следующие три граничных условий

I) Асимптотически евклидовы а также асимптотически локально евклидовы (более слабый, локальный вариант). Такие условия отвечают физике вакуума или нулевой температуры [5, 7, 8].

II) Асимптотически плоские а также асимптотически локально плоские (тоже более слабый, локальный вариант). Эти условия отвечают физике конечной температуры [1, 9].

III) Компактные без границы. Используются в обсуждении «пространственно-временной пены» [3, 4, 10].

Определение 2. Метрика называется если вне компактного подмножества она стремится к плоской метрике на многообразии вида Здесь — плоское евклидово пространство, Г — дискретная подгруппа в свободно действующая на Метрика называется если в этом определении Г тождественна.

Определение 3. Метрика называется если вне компактного множества она стремится к стандартной плоской метрике на

Определение 4. Метрика называется если вне компактного множества она стремится к метрике вида

где -левоинвариантные -формы на группа изометрий такой -инвариантной метрики.

АЕ-инстантоны

Теорема 1 (Шоун — Яу [11], ср. [8]). Не существует АЕ-инстантонов, кроме

Теорема о положительности действия [11] показывает, что Конформно инвариантная часть действия (в смысле [5]) достигает абсолютного минимума на

АЛП-инстантоны

Теорема 2 (Хитчин, частное сообщение). Если и имеет нулевую кривизну Риччи, то конечна.

Теорема 3 (Хитчин, частное сообщение). Если и полуплоское —

или и фундаментальная группа на бесконечности действует на универсальном накрытии асимптотически правыми сдвигами на себе

Список дискретных подгрупп содержит:

циклическая порядка

бинарно диэдральная порядка

бинарно тетраэдральная,

бинарно октаэдральная,

бинарно икосаэдральная.

Почти нет сомнения в том, что для всех этих групп существуют полуплоские метрики. Они были явно построены Гиббонсом и Хокингом [7] для Затем Хитчин [13] снова разобрал -случай твисторными методами; он построил также метрики (частное сообщение).

В координатах метрики Гиббонса — Хокинга можно представить в виде

В случае получается плоское пространство отвечает метрике Эгучи — Хэнсона [5, 8, 14], которая была открыта ранее. Эти -инстантоны с группой зависят от существенных параметров, которые отвечают в точности возможным инфинитезимальным вариациям. Возможно, что они исчерпывают все полуплоские АЛЕ-метрики с Пэйдж (частное сообщение) нашел, какие отождествления приводят к с Кроме того, он построил в явном виде скалярную функцию Грина для этих пространств [16]. Атья (частное сообщение) затем дал твисторную конструкцию этих функций Грина методами когомологий пучков.

Любая полуплоская метрика доставляет локальный минимум действия в классе метрик с Это дает повод сформулировать следующий аналог теоремы 1:

Гипотеза 1. Все АЛЕ-инстантоны полуплоские, а группа Г для их универсальных накрытий содержится в

АП-инстантоны

К известным АП-инстантонам относятся: с плоской метрикой, евклидово пространство Шварцшильда и евклидово пространство Керра с мнимым угловым моментом [23].

Теорема 4 (вариант теоремы Израэля [18]). Пусть с нулевой кривизной Риччи на обладающее полем векторов Киллинга, ортогональных к гиперповерхности. Тогда является евклидовым пространством Шварцшильда.

А. Лапедес (частное сообщение) указал, что несправедливо аналогичное обобщение теоремы Робинсона [19], относящейся к осесимметричным метрикам на допускающим еще одно поле векторов Киллинга, не ортогональное к гиперповерхности. Однако, принимая во внимание теоремы типа «черная дыра не имеет волос» (см. обзор [17]), можно высказать следующее предположение:

Гипотеза 2. Не существует АП-инстантонов, кроме плоского пространства, евклидова пространства Шварцшильда и евклидова пространства Керра.

Пространства Шварцшильда и Керра не являются локальными минимумами действия в классе АП-метрик с нулевой скалярной кривизной [32].

АЛП-инстантоны

Если в уравнениях (3) и (4) положить

то получатся АЛП-метрики типа «мульти-Тауб — (см. Хокинг [2]). Границей на бесконечности являются циклические линзовые пространства. Вероятно, эти метрики (а также метрики, отвечающие можно построить твисторными методами. Конструкция функций Грина, данная Пэйджем, применима также в этом случае.

Метрики (3) и (4) исчерпывают класс метрик с автодуальным полем Киллинга (поле автодуально, если автодуально). Можно также охарактеризовать их как метрики с полем Киллинга, для которых формы связности в «очевидном» базисе автодуальны.

Остальные известные явно АЛП-решения не являются полу-плоскими. Это решения Пэйджа [21] и их обобщения с угловым моментом [22]. Можно поставить вопрос: существуют ли более сложные АЛП-метрики? Ответ, по-видимому, будет отрицательным. На языке работы [23] они должны были бы быть метриками типа «multi-bolt», например «мульти-Шварцшильд». Оказывается, эту возможность можно исключить с помощью аргументов, используемых в физике черных дыр. Таким образом, класс АЛП-метрик кажется несколько более богатым, чем но не слишком.

Компактные инстантоны

Если компактный инстантон допускает поле Киллинга, то . Известные примеры исчерпываются следующим списком:

Многообразие 4 неоднородно. Оно является топологической суммой двух экземпляров с противоположными ориентациями.

Все известные примеры с полуплоские:

1) (плоское);

2) с метрикой

Метрика Эйнштейна — Кэлера на многообразии известна лишь в силу неявной теоремы а также приближенно: она реализуется как результат склейки 16 решений Эгучи — Хэнсона [25, 28]. Многообразия исчерпывают компактные полуплоские метрики. Возникает соблазн сформулировать следующую; гипотезу:

Гипотеза 3. Метрики на исчерпывают компактные неплоские метрики с нулевой кривизной Риччи.

При теорема доставляет обширный класс: примеров, но ни один из них не известен в явном виде, кроме следующих сравнительно явно описываемых пространств:

1. Пространства постоянной кривизны («анти-де Ситтер» по модулю дискретной группы).

2. Пространства постоянной секционной кривизны (поло-: жить в метрике и отфакторизовать по дискретной группе).

3. Произведения двух двумерных пространств постоянной отрицательной кривизны.

Интересный класс пространств составляют комплексные гиперповерхности степени При это К3-многообразия.

Огромное разнообразие примеров доставляют более сложные алгебраические подмногообразия в Однако их числовые характеристики ограничены важными неравенствами; Для" каждого компактного пространства Эйнштейна определим число формулой

Классическое действие тогда равно

Тензор Вейля удовлетворяет неравенству

из которого следует [29]

Здесь — эйлерова характеристика, сигнатура. Равенство достигается в том и только том случае, когда тензор Вейля автодуален. Из него следует

причем равенство достигается при постоянной кривизне. Если метрика кэлерова, то

где — первое и второе числа Чженя. Поэтому для метрик Эйнштейна — Кэлера имеем

и

причем равенство достигается для автодуального тензора Вейля (т. е. в случае постоянной голоморфной секционной кривизны, как

Для алгебраических подмногообразий имеем (Н. Хитчин, частное сообщение)

Равенство слева достигается для гиперповерхностей а справа — для произведений поверхностей постоянной отрицательной кривизны рода

Эти результаты и некоторые качественные соображения побудили Хокинга [4, 10] высказать следующее предположение: Гипотеза. При растущем х Для большинства компактных инстантонов

Фридан (частное сообщение), показал, что в классе метрик с постоянной скалярной кривизной все известные компактные инстантоны, за исключением являются локальными минимумами действия. Для есть в точности одно направление, вдоль которого действие уменьшается.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)