Лекция 2. Дифференциальные формы, внешние производные и структурные уравнения

Дифференциальная геометрия — единый формализм, применимый как для общей теории относительности, так и для теории Янга — Миллса [4]. Поэтому следует ожидать, что он окажется полезным и для суперсимметричных калибровочных теорий. Предварительно нужно обобщить аппарат дифференциальной геометрии на пространства Грассмана (суперпространства). Начнем с нескольких определений.

Дифференциальные формы

Элементы пространства обозначаются символами

Координаты удовлетворяют коммутационным соотношениям

или короче где для векторного индекса для спинорных индексов Для дифференциалов мы вводим правила коммутирования

или подробнее

Для любого целого введем линейное пространство, порожденное базисными элементами

причем произведения обладают описанными коммутационными свойствами. Определим теперь -форму, как линейную комбинацию этих элементов с коэффициентами, зависящими от которые имеют достаточное количество производных. Например, функция называется -формой, -формой, -формой и т. д. Формы можно умножать: произведение -формы и -формы есть -форма. При этом нужно учитывать, что

Внешние производные

Другой путь получения -формы из -формы — внешнее дифференцирование. Пусть а — некоторая -форма:

Тогда ее дифференциал

есть -форма. Внешнее дифференцирование обладает свойством (лемма Пуанкаре). Верна также и обратная лемма Пуанкаре с некоторыми топологическими ограничениями: из следует, что

Тетрада

Произвольный базис в пространстве -форм на суперпространстве описывается матрицей тетрады

Обратная матрица вводится соотношениями

Структурная группа

Пусть — набор -форм, преобразующихся под действием группы Ли:

или в матричных обозначениях где элемент группы Ли,

Первое структурное уравнение

Дифференцируя -форму а, мы получаем -форму

где -форма принимающая значения в алгебре Ли. Потребуем следующего закона преобразования для

Вследствие этого закона (-форма и преобразуется следующим образом:

Доказательство:

В общей теории относительности называется формой связности, — кручением; в теории Янга — Миллса — янг-миллсовский потенциал, некоторая ковариантная производная.

Второе структурное уравнение

Продифференцировав -форму получим

Мы ввели 2-форму со значениями в алгебре Ли; оказывается, что преобразуется как тензор:

Доказательство:

Из находим

В общей теории относительности — тензор кривизны, в теории Янга — Миллса — поле Янга — Миллса.

Тождества Бьянки

Может показаться, что, продолжая дифференцировать и мы получим новые тензорные величины. Но вследствие леммы Пуанкаре мы не найдем новых величин, а только получим соотношения между уже известными. Из следует

или, используя второе структурное уравнение.

аналогично из следует

Случай Янга — Миллса

Применим сначала наш формализм к хорошо известному случаю Янга — Миллса

Пространство — плоское пространство Минковского. Структурная группа — группа Ли, действующая на множестве -форм, (допускается которые преобразуются по некоторому представлению группы Ли в каждой точке х

Матрицы — генераторы группы. То, что форма связности принимает значения в алгебре Ли, означает, что она может быть записана в виде

Поля — это хорошо известные потенциалы Янга — Миллса. Закон преобразования

сводится в инфинитезимальном варианте к хорошо известному закону преобразования для янг-миллсовских потенциалов

Первое структурное уравнение определяет некоторое тензорное выражение через производные и потенциалы

Янга — Миллса. Это хорошо известная ковариантная производная

Второе структурное уравнение

определяет тензорное поле через янг-миллсовский потенциал Ф и его производные. Это хорошо известное поле Янга — Миллса

Первое тождество означает, что между производной от ковариантной производной и полем Янга — Миллса есть связь. Оставляя проверку деталей читателю, напишем окончательный результат

Второе тождество означает, что справедливо лическое тождество для ковариантных производных поля Янга — Миллса

Общая теория относительности

В этом случае предполагается, что тетрада является независимой полевой переменной Под действием общих преобразований координат (эйнштейновских преобразований)

она преобразуется по закону

Поэтому форма

есть скаляр по отношению к преобразованиям Эйнштейна;

Заметим, что форма, получаемая внешним дифференцированием из скаляра, есть снова скаляр.

Структурная группа — это локальные преобразования Лоренца, и тетрада преобразуется по закону

Индексы на которые действуют преобразования Эйнштейна, называются мировыми индексами, индексы (а), меняющиеся под действием группы Лоренца в касательном пространстве, называются лоренцевыми индексами. Лоренцевы индексы можно поднимать и опускать с помощью Посредством тетрады и обратной к ней мировые индексы можно преобразовывать в лоренцевы и наоборот. Этим способом любая тензорная плотность Эйнштейна может быть преобразована в эйнштейновскую скалярную плотность, являющуюся лоренцевым тензором. Его компоненты берутся в системе координат, которая описывается тетрадой.

В качестве формы о возьмем саму тетраду и используем первое структурное уравнение для определения кручения

Кручение — это 2-форма, которая преобразуется как лоренцев вектор, будучи скаляром относительно преобразований Эйнштейна. В теории без кручения первое структурное уравнение можно использовать, чтобы выразить связность фпьа через тетраду. Действительно, поскольку форма связности принимает значения в алгебре Ли, выражение антисимметрично по Поэтому мы можем разрешить уравнение

и получить

Второе структурное уравнение определяет тензор кривизны в терминах связности:

откуда

Поскольку Коэффициенты 2-формы, получаем Как и выше, принимают значения в алгебре Ли по индексам Это означает, что

В случае отсутствия кручения тензор кривизны может быть выражен через тетраду. Связь с римановой теорией устанавливается введением метрического тензора

Первое тождество

означает свойство симметрии

В теории без кручения это в точности циклическое соотношение для Второе тождество принимает вид

В случае отсутствия кручения это просто хорошо известное тождество Бьянки.