8. Преобразования Бэклунда для автодуальных калибровочных полей

Этот раздел посвящен преобразованиям Бэклунда для автодуальных калибровочных полей, которые, как сказано выше, хотя и дают некоторые сведения, но к конкретным решениям рассматриваемой проблемы не приводят. Преобразованием Бэклунда (ПБ), которое используется в наших целях, называется любое преобразование, которое порождает локально «новые» решения уравнений автодуальности из «старых». Поскольку уравнения автодуальности являются сложными нелинейными связанными уравнениями в частных производных, ПБ может быть весьма полезным, если только известны тривиальные решения.

Этот раздел разбит на три подраздела. В первом подразделе описывается представление Янга автодуальных калибровочных полей, которое является отправной точкой для всех рассуждений, связанных с ПБ. Затем мы вводим анзацы Атьи — Уорда (АV) в контексте инстантонной проблемы. Исторически анзацы Атьи — Уорда были предложены как способ образования полного инстантонного решения, но из-за проблем глобальной сингулярности от них отказались в пользу более удобных методов алгебраической геометрии, которые в конечном счете привели к конструкции АДХМ. Наконец, мы опишем совсем недавно открытое ПБ в явно калибровочно инвариантном представлении автодуальных калибровочных полей. К сожалению, подобно конструкции АУ, это новое ПБ при глобальном рассмотрении также имеет серьезные проблемы сингулярности — черта, которая, по-видимому, характерна для всех таких преобразований.

Пока мы не достигли лучшего понимания глобальных особенностей, порождаемых ПБ (или способов управлять ими), совсем не ясно, каково их значение в описании инстантонов и монополей.

8.1. Представление Янга автодуальных калибровочных полей

Основная идея Янга — рассмотреть аналитическое продолжение калибровочного потенциала А (в матричной форме) в комплексное пространство, где комплексные. Тогда уравнения автодуальности выполняются в области комплексного пространства, содержащей действительное пространство, где действительные. Рассмотрим теперь четыре новые комплексные переменные и определенные следующим образом:

Нетрудно проверить, что уравнения автодуальности сводятся к следующим уравнениям:

Уравнения (8.1.2) и (8.1.3) могут быть сразу проинтегрированы, так как они являются чистой калибровкой. В результате имеем

где и — произвольные комплексные матрицы второго порядка, зависящие от и с определителем, равным единице (для калибровочной группы

Для действительных калибровочных полей ? (знак используется для уравнений, верных только для действительных переменных потребуем выполнения условия

Калибровочные преобразования (3.9) принимают вид

где — комплексная матрица второго порядка с определителем, равным единице, зависящая от и При преобразовании (8.1.8) уравнение (8.1.7) остается неизменным.

Определим теперь эрмитову матрицу следующим образом:

Матрица обладает очень важным свойством: она инвариантна относительно калибровочного преобразования (8.1.8). Все не обращающиеся в нуль компоненты напряженности выражаются через в виде

а остающееся уравнение автодуальности (8.1.4) принимает вид

Плотность действия в терминах матрицы имеет вид

Для статических калибровочных полей уравнение (3,6) принимает вид

СТАТИЧЕСКИЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ:

так что для статических полей Так как для статических полей , калибровочный потенциал в матричной форме имеет_вид . Таким образом, уравнение плотности энергии (7.10) для статических автодуальных полей принимает следующую форму:

Функционалы действия и энергии задаются в виде

В заключение этого подраздела заметим, что в выборе имеется произвол с точностью до преобразований вида

где V — произвольная функция у и Относительно преобразования (8.1.16) калибровочные потенциалы , а следовательно, и напряженности инвариантны.

8.2. Анзац Атьи — Уорда

Конструкция Атьи — Уорда (АV) начинается с явной параметризации матрицы

Для действительных калибровочных полей мы требуем, чтобы

Ф действительная, комплексное сопряжение

Уравнения автодуальности (8.1.11) принимают вид

Используя уравнения (8.2.3) -(8.2.5), плотность действия (8.1.12) можно привести к следующему виду:

В терминах анзац КФТВ и решение т’Офта из разд. 6 имеют простой вид

Атья и Уорд называют анзац КФТВ (8.2.7) анзацем и включают его в иерархию анзацев которая позволяет получить явно которые в свою очередь автоматически удовлетворяют уравнениям автодуальности (8.2.3) — (8.2.5). Для того чтобы построить нам понадобятся некоторые предварительные результаты.

Положительно определенная эрмитова матрица может быть разложена в произведение верхней и нижней (или наоборот) треугольных матриц следующим образом:

Из (8.2.8) очевидно, что можно выбрать калибровку так, что или легко проверить, что в обеих калибровках уравнения автодуальности имеют вид (8.2.3) — (8.2.5) (в случае переходят в Из (8.2.8) мы видим, что является унитарной матрицей, так что всегда можно калибровочным преобразованием перейти от -калибровки к -калибровке. Таким образом, мы приходим к следующей теореме:

Теорема Если удовлетворяют уравнениям (8.2.3) — (8.2.5), то также им удовлетворяют и определяются следующим образом:

Более того, калибровочные потенциалы, построенные из суть калибровочные преобразования потенциалов, построенных из так что

поскольку плотность действия инвариантна относительно калибровочного преобразования. Заметим, что является дискретным преобразованием, так как двукратное его применение приводит к тождеству (т. е.

Теперь мы сформулируем вторую теорему, которую очень легко доказать.

Теорема 2. Если удовлетворяют уравнениям (8.2.3) — (8.2.5), то также им удовлетворяют и определяются следующим образом:

В отличие от (8.2.10), для того чтобы найти нужно решать дифференциальные (а не алгебраические) уравнения. Очень важно заметить, что

т. е. нарушается условие действительности уравнения (8.2.2).

Более того, примененный дважды оператор В есть тождественный оператор (т. е. и он не изменяет калибровочный потенциал. Следовательно, чтобы использовать оператор В более одного раза, нужно вводить оператор теоремы 1 между двумя операторами В.

Используя уравнения (8.2.6), (8.2.3) и (8.2.12), можно записать плотность действия от в виде

В общем случае так. что не может быть калибровочным преобразованием

Анзац может быть теперь определен следующей цепочкой операторов:

где — анзац КФТВ (8.2.7) и означает применение сначала оператора а затем оператора В, введенных в теоремах

1 и 2 соответственно. Используя уравнения (8.2.11) и (8.2.14), находим плотность действия для анзаца

где Ф — анзац КФТВ Ф, определенный (8.2.7), а обозначает оператор примененный раз.

Теперь в силу уравнения (8.2.13) все четные анзацы вообще говоря, не будут удовлетворять условию действительности (8.2.2), в то время как нечетные анзацы будут ему удовлетворять.

Гораздо более серьезное следствие уравнения (8.2.13) заключается в следующем. Если явно вычислить плотность действия для то обнаруживается, что имеется очень много сильных особенностей — особенностей, которые не являются калибровочными артефактами (как было в случае с решением т’Офта в разд. 6.3). В настоящий момент совсем не ясно, как справиться с такими особенностями и, следовательно, как связан анзац с конструкцией АДХМ, которая, как известно, дает полное инстантонное решение.

8.3. Явно калибровочно инвариантное преобразование Бэклунда

Конструкция требует явной параметризации матрицы и потому нарушает явную калибровочную инвариантность. Недавно было найдено новое преобразование Бэклунда непосредственно в терминах калибровочно инвариантной матрицы У, которое мы здесь опишем.

Пусть и — две эрмитовы матрицы второго порядка, которые удовлетворяют следующим уравнениям:

где — действительные постоянные. Если мы применим эрмитово сопряжение к уравнению (8.3.1) и используем (8.3.2), то получим

Отсюда следует

так что и являются решениями уравнения автодуальности (8.1.11).

Если и то Чтобы убедиться в этом, положим так что из уравнения (8.3.2) получим Из теоремы Гамильтона — Кэли следует, что . Если то матрица Р пропорциональна единичной, и подходящим выбором масштаба можно получить т. е. тривиальное решение уравнений (8.3.1) и (8.3.2). Поэтому для нужно потребовать, чтобы

Однако для -калибровочной теории матрицы является не только эрмитовой, но и положительно определенной, так что Поскольку то невозможно получить -калибровочные поля. Эта проблема аналогична уравнению (8.2.13) для конструкции Как в последней, чтобы получить нужно четное число раз применить к уравнениям (8.3.1) и (8.3.2) преобразование Бэклунда. К сожалению, проблема особенностей, связанная с конструкцией АУ, в новой конструкции, по-видимому, также оказывается неразрешимой.

Мы заканчиваем этот раздел замечанием, что преобразования Беклунда, обсуждавшиеся до сих пор, не являются сильными в том смысле, что из них не следует, что «новые» и «старые» решения уравнений автодуальности удовлетворяются независимо. Так, например, из уравнения (8.3.4) не следует, что и — Классическое

ПБ в теории солитонов является сильным и весьма полезным для построения солитонных нетривиальных решений из тривиальных (напрцмер, для уравнения Кортевега — де Фриза и т. Не известно, существует ли сильное ПБ для уравнений автодуальности Янга — Миллса.