2. Кинематические связи в суперпространстве

Необходимость наложения кинематических связей на геометрические объекты, характеризующие искривленное суперпространство, возникла из желания избежать в компонентных суперполях, описывающих супергравитацию, спина выше двух. Эти связи обсуждались несколькими авторами [3,4] и были разделены на три типа [11].

1. Связи, которые делают теорию «формализмом второго порядка». Алгебраически это определяет связность Фмаь и обратный репер с векторным индексом через фундаментальные обратные реперы со спинорными индексами (заметим, что

2. Связи, отражающие возможность существования киральных скалярных суперполей в локальной суперсимметрии.

3. Дополнительные связи, оставшиеся без определенной алгебраической интерпретации.

Связи первого типа могут быть выбраны многими способами; мы будем называть их стандартными. Это аналогично специальному выбору вида аффинной связности в общей теории относительности. Иной выбор стандартных связей может быть осуществлен переопределением полей. Например, можно изменить связность добавлением элементов кручения,

являющихся алгебраическими комбинациями других полей. Для определенности выберем следующий набор связей:

и аналогично для комплексно-сопряженных. Примером иного выбора может служить замена связи на которая может быть достигнута переопределением

Необходимо заметить, что при задании калибровки на всем касательном пространстве с суперлоренцевой структурой становится невозможным выражение через Таким образом, геометрия Арновитта — Ната касательного пространства [12] с необходимостью требует большего числа независимых фундаментальных полей, чем найдено в супергравитации.

Связи второго типа дают возможность существования киральных скалярных суперполей в локальной суперсимметрии поскольку они являются условиями интегрируемости дифференциальных уравнений, определяющих киральные суперполя. Определяющее условие кирального скалярного суперполя в искривленном суперпространстве имеет вид

Применение другой фермиевской ковариантной производной и симметризация дают условие интегрируемости

откуда

и то же для комплексно-сопряженных.

Связи третьего типа тоже могут быть выбраны по-разному, но в отличие от связей первого типа различные варианты выбора не связаны переопределением полей. Было показано [4, 11], что эти различные варианты обусловлены двумя

неэквивалентными наборами вспомогательных полей, которые были введены в супергравитацию.

Один вариант связей третьего типа задается формулами

(аналогично для комплексно-сопряженных). Этим завершается набор связей, который, как можно показать с помощью тождеств Бьянки, эквивалентен набору, выбранному Вессом и мино [3]; он приводит к формулировке супергравитации, использующей минимальное число вспомогательных полей [1].

Другие возможные варианты выбора связей [11] образуют множество, параметризованное числом

где Для конечных значений все эти варианты ведут к неминимальной структуре вспомогательных полей [9].

Мы подчеркнули, что кинематические связи в супергравитации не зависят от выбора динамической системы. В частности, это означает, что они применяются и к супергравитации Пуанкаре и к конформной супергравитации. Поэтому группа инвариантности связей должна содержать преобразования суперконформной теории. Но тщательное изучение суперконформных преобразований показывает, что требуется специализация вспомогательных полей, используемых в теории. Действительно, имеются две различные версии суперконформной группы в суперпространстве, отличающиеся по их действию на соответствующие вспомогательные поля, ассоциированные с двумя различными вариантами выбора связей третьего типа.

Выбор связей, даваемый уравнениями (2.1а — д), (2.4а, б) и (2.5а), инвариантен относительно киральной конформной группы [7], имеющей в качестве параметра киральное скалярное суперполе. В противоположность этому выбор связей, даваемый уравнениями (2.1а — д), (2.4а, б) и (2.56), инвариантен относительно линейной конформной группы [8], параметром которой служит линейное скалярное суперполе.