2. Тензорное исчисление в суперпространствах

Важное обобщение тензорного исчисления — тензорное исчисление в суперпространствах — возникает при введении антикоммутирующих (грассмановых) объектов; при этом приходится следить за знаками, появляющимися при перестановке таких переменных. Соотношения (анти)коммутации обычно записываются в виде где для коммутирующих объектов и для спинорных. Можно записывать это в виде понимая под этим равенством следующее: перестановка всех супериндексов левой части в том порядке, в каком они фигурируют в правой части, дает соответствующий знак, зависящий от четности индексов. Это соглашение позволяет все формулы дифференциальной геометрии рассматривать как формулы геометрии в суперпространстве; перестановка индексов в нужном порядке дает правильный знак. Все это будет подразумеваться во всех дальнейших формулах геометрии суперпространства. Формулы, записанные в явном виде в векторно-спинорном формализме, будут, конечно, содержать эти знаки. Необходимо позаботиться об индексах, по которым производится суммирование: в уравнениях они всегда будут расположены так:

В качестве примера рассмотрим формулу, выражающую антисимметричность кручения:

в векторно-спинорных обозначениях она заменяется на

Заметим, что наше соглашение изменяет определение циклической суммы. Легко показать, что знак, который дает это соглашение, таков, что тензорное преобразование

обладает необходимыми свойствами ассоциативности (оператор левого дифференцирования находится слева от дифференцируемого объекта). Поэтому наше соглашение превращает формулы обычного тензорного исчисления в суперпространственные формулы.