3. Гравитационный вакуум

В теории Янга — Миллса вакуумное состояние с на пространственно-подобной поверхности можно описывать потенциалами которые являются чистой калибровкой, т. е. имеют вид

где Л — элемент калибровочной группы Выбрав в качестве Л единичный элемент на бесконечности или, что эквивалентно, компактифицировав пространственно-подобную поверхность — дополнив ее бесконечно удаленной точкой, чтобы превратить в -сферу, мы получим некоторое отображение в В простом случае, когда калибровочная группа есть она топологически представляет собой 3-сферу, поэтому такие отображения можно разбить на классы гомотопической эквивалентности, каждому из которых соответствует вполне определенное целое число — степень отображения. Таким образом, мы приходим к вырожденному семейству вакуумных состояний, описываемых целым числом [8]. Амплитуда перехода для туннелирования из начального вакуумного состояния в конечное вакуумное состояние задана континуальным интегралом, взятым по всем полям Янга — Миллса на евклидовом пространстве, убывающим до нуля на большом расстоянии и имеющим число Понтрягина Действие таких полей ограничено снизу числом

в силу чего туннельный переход подавлен..

Аналогичный анализ можно провести и для гравитационного вакуума. Нулевую конфигурацию поля — плоское пространство — на пространственно-подобной поверхности можно описать различными тетрадными полями, которые можно рассматривать как отображения -сферы (пространственно-подобной поверхности, компактифицированной добавлением бесконечно удаленной точки) в группу вращений тетрад Так как в эту схему желательно включить и фермионные поля, то необходимо выбирать не обычные тетрады, а спинорные реперы. Они соответствуют отображениям 3-сферы в накрывающую группы — группу Поскольку каждая группа топологически эквивалентна 3-сфере, такие отображения подразделяются на гомотопические классы, каждый из которых

однозначно определяется двумя целыми числами степенями отображения -сферы на два прямых сомножителя. Таким образом, мы имеем двукратно бесконечный набор вырожденных гравитационных вакуумов. Амплитуда туннельного перехода из начального вакуума в конечный вакуум определяется континуальным интегралом, взятым по всем асимптотически евклидовым метрикам на параллелизуемых многообразиях с эйлеровой характеристикой

и сигнатурой Хирцебруха

Асимптотическая евклидовость означает, что метрика стремится к стандартной евклидовой метрике на вне какой-то компактной области, внутри которой топология отличается от заданной на Параллелизуемость означает, что на многообразии можно задать непрерывные тетрадные поля и непрерывные спинорные реперы, а условия на позволяют интерполировать эти поля между полями на начальной и конечной поверхностях. Можно доказать, что если многообразие допускает спиновую структуру, т. е. на нем можно непротиворечивым образом задать спиноры, то оно параллелизуемо [9, 10]. В асимптотически евклидовом случае отсюда следует также, что сигнатура Хирцебруха кратна 16. Таким образом, гравитационные вакуумы подразделяются на классы, каждый из которых не может туннелировать в любой другой класс и живет в своей полностью изолированной вселенной.

Эйлерову характеристику и сигнатуру можно представить в виде следующих интегралов от кривизны:

Поверхностные члены в общем случае имеют довольно сложный вид, но в асимптотически евклидовом случае каждая асимптотически евклидова область дает вклад, равный единице, в и вклад, равный нулю, в .

Эйлерова характеристика определяется соотношением

число Беттй равно числу независимых замкнутых -поверхностей, не являющихся границами некоторой -поверх ности. Для компактного многообразия равно числу квадратично интегрируемых гармонических -форм. Для компактного

многообразия Если многообразие односвязно, то поэтому

Мне кажется правдоподобным, что следует рассматривать только односвязные многообразия. В этом случае позволяют классифицировать компактные многообразия, допускающие спинорную структуру, с точностью до гомотопии. Высказывалось (Пуанкаре) предположение о том, что позволяют классифицировать многообразия с точностью до гомеоморфизмов. Можно доказать, что для неодносвязных 4-многообразий схемы классификации не существует.

Гармонические 2-формы (поля Максвелла), число которых равно можно подразделить на автодуальные и антиавтодуальные 2-формы (число которых равно соответственно Тогда Сигнатура также равна где числа нулевых мод безмассовых уравнений Дирака с положительной и отрицательной спиральностью.

В теории Янга — Миллса евклидово пространство удобно компактифицировать, дополняя бесконечно удаленной точкой, чтобы превратить многообразие в Исходную плоскую метрику можно восстановить по метрике на с помощью конформного преобразования, переводящего добавленную точку в бесконечность. Аналогичная процедура применима и в гравитационном случае: асимптотически евклидово многообразие можно конформно компактифицировать, дополнив точкой на бесконечности, но получающееся при этом компактное многообразие не обязательно будет а может быть любым многообразием, допускающим спинорную структуру. Последнее утверждение можно было бы рассматривать как точное определение того, что понимается под асимптотически евклидовым аналогом предложенного Пенроузом определения асимптотически плоского лоренцева многообразия [11]. Начать следует с компактного многообразия, наделенного гладкой положительно определенной метрикой, выбрать некоторую точку и конформным преобразованием перевести ее в бесконечно удаленную точку. В результате мы получим асимптотически евклидову метрику с эйлеровой характеристикой, на единицу меньшей эйлеровой характеристики компактного многообразия, но с той же сигнатурой.

Амплитуду перехода из начального вакуума в конечный можно представить в виде континуального интеграла, взятого по всем асимптотически евклидовым метрикам на (односвязном) многообразии М с заданными значениями

Этот континуальный интеграл можно разложить в интеграл по конформным множителям в свою очередь интегрируемый по

конформно эквивалентным классам При конформном преобразовании

действие принимает вид

Поверхностный член вычисляется по большой сфере в асимптотически евклидовом пространстве, а постоянная С выбирается так, чтобы исключить из поверхностного члена значение, соответствующее плоскому пространству. Чтобы вычислить интеграл по конформным множителям, необходимо прежде всего иайти конформный множитель со, равный единице на граничной поверхности и такой, что для метрики всюду выполняется равенство Нахождение со можно рассматривать как своего рода выбор конформной калибровки. Действие метрики полностью определяется поверхностным членом. Затем следует проинтегрировать по конформным множителям вида где отвечает метрике и у обращается в нуль на границе. Так как кинетический член входит со знаком минус, интегрировать следует по мнимым значениям у [4]. Производя вычисления, получаем

где — конформно инвариантный скалярный оператор. Амплитуда перехода определяется после этого интегралом по всем классам конформной эквивалентности тетрад

Проделанная процедура может быть описана в терминах кон формно компактифицированного многообразия М и метрики §, Выберем точку на М и переведем ее в бесконечность конформным преобразованием

где — функция Грина на компактном многообразии в метрике Тогда метрика будет асимптотически евклидовой с

Пусть - собственные значения и собственные функции оператора А на . Собственная функция соответствующая наименьшему собственному значению всюду знакопостоянна, поэтому ее можно использовать в качестве конформного множителя в регулярном конформном преобразовании

, в результате которого Я всюду оказывается того же знака, что и Таким образом, если наименьшее собственное значение положительно, то функция Грина нигде не обращается в нуль. Следовательно, метрика не сингулярна. С другой стороны, если наименьшее собственное значение отрицательно, то обращается в нуль и метрика сингулярна. Интерпретацию этого факта я приведу немного ниже.

Действие метрики (если отбросить член С) имеет вид

Разумеется, оно бесконечно, так как при функция Грина расходится, но действие обращается в бесконечность также, если поверхностный член

Вычислить по -сфере бесконечного радиуса. Чтобы действие стало конечным, из поверхностного члена необходимо вычесть (бесконечное) значение, принимаемое им на плоском пространстве. В конформно компактифицированной процедуре это соответствует регуляризации функции Грина Правильный результат мы получим с помощью процедуры конформно инвариантной размерной регуляризации с введением дополнительных плоских размерностей. Такая процедура эквивалентна регуляризации с помощью дзета-функции [12, 13] плюс поправочный член

Гипотеза положительного действия [4—6] утверждает, что Действие любой регулярной асимптотически евклидовой метрики с неотрицательно, причем оно равно нулю в том и только в том случае, если метрика плоская. В терминах конформной компактификации эта гипотеза сводится к тому, что функция Грина больше или равна нулю для всех на которых оператор А не имеет отрицательных или нулевых собственных значений. Гипотеза положительного действия представляет собой аналог (для размерности, большей на единицу) гипотезы положительной энергии из обычной общей теории относительности (последняя гипотеза теперь доказана [14]).

Функция Грина допускает разложение

Регуляризация обращает в нуль для стандартной метрики на При деформации метрики от исходной сферической Наименьшее собственное значение убывает, и функция Грина становится положительной. Если метрика

деформируется настолько, что проходит через нуль, то проходит через бесконечность и становится отрицательной, а конформный множитель проходит через нулевое значение.

Для получения физической интерпретации полезно сравнить описанную ситуацию с задачей Коши в классической общей теории относительности, которую можно сформулировать следующим образом. Возьмем компактное -мерное многообразие с гладкой метрикой Я. Выберем на нем точку и переведем ее в бесконечность с помощью конформного множителя , где теперь функция Грина для -мерного конформно инвариантного оператора. Тогда метрика будет асимптотически плоской и Следовательно, метрика А удовлетворяет условию симметричной по времени задачи Коши (несимметричная по времени задача Коши допускает аналогичное решение). Масса Арновитта — Дезера — Мизнера определяется регуляризованным значением

Стандартная метрика на -сфере задает начальные данные для плоского пространства. Деформируя метрику Я от исходной сферической метрики, мы получаем начальные данные для симметричной по времени коллапсирующе-взрывающейся гравитационной волны — волны с положительной энергией или массой. Нарастая, интенсивности волн достигают критического уровня, при котором энергия волны становится столь большой, что она сворачивает начальную поверхность и отсекает ее от бесконечности. Достижение порога соответствует прохождению через нуль собственного значения оператора А. Превысив пороговый уровень интенсивности волн, мы попадаем в новый класс начальных данных, соответствующих черным дырам с видимым горизонтом событий [15]. Такие начальные данные можно получить из пары с неотрицательными собственными значениями, если с помощью конформного множителя перевести в бесконечность две точки

Аналогичной процедурой разумно воспользоваться и в квантовой гравитации. Вместо того чтобы для получения асимптотически евклидовой метрики переводить в бесконечность одну точку компактного многообразия М, на этот раз для получения метрики с асимптотически евклидовыми областями можно перевести в бесконечность точек Это можно сделать с помощью конформного множителя

где «ток бесконечности» определяется соотношением

Действие метрики имеет вид

Амплитуда перехода из вакуума в вакуум, или, точнее, из одних вакуумных состояний в другие, соответствующая многообразию точками, удаленными в бесконечность, представима в виде

где интеграл берется по всем классам конформной эквивалентности тетрадных полей. Эту амплитуду можно просуммировать по числу и расположению точек, переводимых в бесконечность, и интенсивностям волн, или, что эквивалентно, по всем «токам бесконечности» В результате суммирования мы получим множитель который сокращается с множителем возникающим при интегрировании по конформным множителям.

Остается интеграл по классам конформной эквивалентности тетрадных полей. Компоненты тетрады образуют в точке -мерное векторное пространство. Отождествляя тетраду с компонентами и тетраду при любом ненулевом т. е. рассматривая классы конформной эквивалентности, мы сводим это векторное пространство к компактному -мерному проективному пространству конформных тетрад, факторизованному до -мерного компактного пространства конформных метрик по группе тетрадных вращений Так как пространство конформных тетрад компактно в каждой точке, на нем можно задать меру, имеющую единичный объем. Тогда континуальный интеграл, взятый по классам конформной эквивалентности тетрадных полей, будет равен единице, в силу чего

Напрашивается мысль просуммировать также по всем возможным топологиям компактного многообразия М. Но я считаю, что в действительности эта операция эффективно выполняется при интегрировании по всем конформным тетрадным полям. Дело в том, что в общем случае существуют трехмерные поверхности, на которых и метрика вырождена. Нулевой вектор матрицы вообще говоря, не принадлежит поверхности Это обстоятельство позволяет ввести новые координаты или, что эквивалентно, перейти к другому многообразию с иной топологией, на котором тетрадное поле

и метрика не вырождены. В общем случае существуют также двумерные поверхности, на которых нулевой вектор матрицы принадлежит поверхности Скалярная кривизна может быть на этих поверхностях сингулярной, но она остается интегрируемой, поэтому действие определено и на них. Таким образом, интегрирование по всем конформным тетрадным полям или, что эквивалентно, по всем конформным положительно полуопределенным метрикам эффективно включает суммирование по всем топологиям многообразия.

Этот замечательный результат был получен без какой бы то ни было регуляризации, так как расходимости при континуальном интегрировании по конформным множителям в точности компенсируют те расходимости в действии асимптотически евклидовых метрик, от которых обычно приходится избавляться вычитанием значения поверхностного члена для плоского пространства. Соотношение (3.17) можно было бы рассматривать как условие унитарности для гравитации с учетом всех топологических возможностей. Однако такое утверждение носит несколько формальный характер. Более желательно было бы воспользоваться намеченным подходом для вычисления физических амплитуд и вероятностей. Должен признаться, что мне пока не удалось осуществить эту программу, хотя кое-какие смутные идеи на этот счет у меня имеются. По-видимому, большинство конформных метрик (и все метрики со спинорной структурой и ненулевой сигнатурой Хирцебруха обладают отрицательными или нулевыми собственными значениями оператора А. Это означает, что метрика со стационарным действием в своем конформном классе содержит области, отгороженные от бесконечности. Однако в том же классе конформной эквивалентности существуют и другие метрики, для которых эти области не отгорожены от бесконечности. Им должны соответствовать какие-то физические эффекты, хотя вероятности этих эффектов малы, поскольку области замкнуты в метрике со стационарной фазой. Относительно того, в чем состоят эти эффекты, можно высказать чисто умозрительные догадки. В частности, они могли бы соответствовать виртуальным черным дырам, которые появляются, поглощают одну частицу, испускают частицу другого сорта с тем же зарядом, импульсом и угловым моментом и затем исчезают.