3. Супергруппа Вейля

Существование двух различных версий суперконформной группы в суперпространстве, связанное с двумя возможными ограничениями третьего типа, наводит на мысль о существовании общего формализма локальной суперконформной инвариантности, дающего алгебраическое истолкование этих связей. Необходимость такого общего формализма подсказывается также и контрастом между обычным простым обобщением общей

ковариантности в пространстве до общей ковариантности в суперпространстве и довольно сложным выражением локальной суперконформной инвариантности [7,8].

Не стремясь уменьшить число компонентных полей в суперполе, параметризующем суперконформную группу, путем наложения с самого начала ограничений на их вид (линейный или киральный), мы будем действовать по прямой аналогии с формулировкой инвариантности Вейля в общей теории относительности. Действие супергруппы Вейля на супергравитационные поля сводится к умножению фундаментальных суперполей на общее комплексное скалярное суперполе. Чтобы включить локальные киральные преобразования в группу, надо рассмотреть комплексное суперполе. Преобразования имеют вид

где — общее комплексное скалярное суперполе.

Так как связность Фмьс и векторные компоненты репера будут выражены в терминах в результате разрешения стандартных связей первого типа, их преобразования могут быть просто фиксированы преобразованиями фундаментальных полей. Не вдаваясь в детали зависимости между и фундаментальными полями напишем самые общие преобразования, сохраняющие форму ковариантных производных:

где Эти преобразования имеют наиболее общий вид, необходимый для учета произвольных преобразований связности (члены с и векторных компонент репера (члены с ). Кроме того, мы имеем, конечно, локальные лоренцевы преобразования

Члены в преобразованиях (3.2) записываются через общий суперполевой параметр при наложении некоторого частного набора связей первого типа. Для выбора связей первого типа, описанного в первом разделе, имеются

преобразования супергруппы Вейля вида

где — сложная функция от и (она не понадобится в дальнейших вычислениях).

Используя тождество

легко найти следующие преобразования компонент кручения:

Законы преобразования оставшихся геометрических тензоров нам не потребуются.

Инвариантность связей второго типа в отличие от инвариантности связей первого типа при преобразованиях супергруппы Вейля (они определяют поля ( не столь очевидна. Однако из равенств (3.7) видно, что набор уравнений инвариантен в совокупности, хотя в отдельности уравнение например, не инвариантно. Инвариантность связей второго типа влечет за собой существование киральных суперполей с нулевым супервейлевским весом в конформной

супергравитации. Инвариантность связей первого и второго типов относительно супергруппы Вейля важна для целей нашей статьи, так как эта супергруппа является максимальной супер-конформной супергруппой симметрий этих связей и послужит ключом к пониманию алгебраического смысла всех связей.